Страницы 126-127 номер 13.47, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед
\(AB = BC = 1\) см, \(AA_1 = 2\) см
плоскость \(\alpha\) проходит через \(A\) и \(C_1\), \(\alpha \parallel BD\)
сфера касается плоскости \(\alpha\) и граней параллелепипеда с общей вершиной \(C\)
Найти: \(r\) — радиус сферы.
Решение: Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны. Введём систему координат с началом \(C\) и осями \(x\), \(y\), \(z\), направленными по лучам \(CB\), \(CD\) и \(CC_1\); единичный отрезок — 1 см. Тогда \(B(1; 0; 0)\), \(D(0; 1; 0)\), \(A(1; 1; 0)\), \(C_1(0; 0; 2)\), а грани \(ABCD\), \(BB_1C_1C\) и \(CC_1D_1D\) с общей вершиной \(C\) лежат в плоскостях \(xy\), \(xz\) и \(yz\).
Пусть \(O(x_0; y_0; z_0)\) — центр сферы, \(r\) — её радиус. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому точки касания сферы с гранями \(ABCD\), \(BB_1C_1C\) и \(CC_1D_1D\) — основания перпендикуляров, опущенных из \(O\) на плоскости этих граней, то есть точки \((x_0; y_0; 0)\), \((x_0; 0; z_0)\) и \((0; y_0; z_0)\), и \(|x_0| = |y_0| = |z_0| = r\). Точки касания лежат на гранях, поэтому \(0 \leqslant x_0 \leqslant 1\), \(0 \leqslant y_0 \leqslant 1\), \(0 \leqslant z_0 \leqslant 2\). Значит, \(O(r; r; r)\), причём \(r \leqslant 1\).
Уравнение плоскости \(\alpha\) имеет вид \(ax + by + cz + d = 0\), где \(\vec{n}(a; b; c)\) — вектор нормали. Плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(BD\) и содержит прямую \(AC_1\), поэтому вектор \(\vec{n}\) перпендикулярен векторам \(\overrightarrow{BD}(-1; 1; 0)\) и \(\overrightarrow{AC_1}(-1; -1; 2)\): \[\begin{cases} -a + b = 0, \\ -a - b + 2c = 0. \end{cases}\]
Отсюда \(b = a\), \(c = a\); при \(a = 1\) получаем \(\vec{n}(1; 1; 1)\). Плоскость \(x + y + z + d = 0\) проходит через точку \(C_1(0; 0; 2)\): \(2 + d = 0\), \(d = -2\). Уравнение плоскости \(\alpha\): \(x + y + z - 2 = 0\).
Сфера касается плоскости \(\alpha\) в точке \(T\), поэтому расстояние \(OT\) от точки \(O(r; r; r)\) до плоскости \(\alpha\) равно \(r\); по формуле расстояния от точки до плоскости: \[\begin{aligned} \frac{|r + r + r - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} &= r; \\ \frac{|3r - 2|}{\sqrt{3}} &= r; \qquad | \cdot \sqrt{3} \\ |3r - 2| &= r\sqrt{3}. \end{aligned}\]
Если \(3r - 2 \geqslant 0\), то \(3r - 2 = r\sqrt{3}\) и \(r = \frac{2}{3 - \sqrt{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3} > 1\): точка касания \((r; 0; r)\) сферы с плоскостью грани \(BB_1C_1C\) лежала бы вне этой грани (\(x_0 = r > CB\)), а по условию сфера касается грани. Значит, \(3r - 2 < 0\), \(2 - 3r = r\sqrt{3}\) и \[r = \frac{2}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2(3 - \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} \text{ (см)}.\]
Ответ: \(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}\) см.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед
\(AB = BC = 1\) см, \(AA_1 = 2\) см
плоскость \(\alpha\) проходит через \(A\) и \(C_1\), \(\alpha \parallel BD\)
сфера касается плоскости \(\alpha\) и граней параллелепипеда с общей вершиной \(C\)
Найти: \(r\) — радиус сферы.
Решение: Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны. Введём систему координат с началом \(C\) и осями \(x\), \(y\), \(z\), направленными по лучам \(CB\), \(CD\) и \(CC_1\); единичный отрезок — 1 см. Тогда \(B(1; 0; 0)\), \(D(0; 1; 0)\), \(A(1; 1; 0)\), \(C_1(0; 0; 2)\), а грани \(ABCD\), \(BB_1C_1C\) и \(CC_1D_1D\) с общей вершиной \(C\) лежат в плоскостях \(xy\), \(xz\) и \(yz\).
Пусть \(O(x_0; y_0; z_0)\) — центр сферы, \(r\) — её радиус. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому точки касания сферы с гранями \(ABCD\), \(BB_1C_1C\) и \(CC_1D_1D\) — основания перпендикуляров, опущенных из \(O\) на плоскости этих граней, то есть точки \((x_0; y_0; 0)\), \((x_0; 0; z_0)\) и \((0; y_0; z_0)\), и \(|x_0| = |y_0| = |z_0| = r\). Точки касания лежат на гранях, поэтому \(0 \leqslant x_0 \leqslant 1\), \(0 \leqslant y_0 \leqslant 1\), \(0 \leqslant z_0 \leqslant 2\). Значит, \(O(r; r; r)\), причём \(r \leqslant 1\).
Уравнение плоскости \(\alpha\) имеет вид \(ax + by + cz + d = 0\), где \(\vec{n}(a; b; c)\) — вектор нормали. Плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(BD\) и содержит прямую \(AC_1\), поэтому вектор \(\vec{n}\) перпендикулярен векторам \(\overrightarrow{BD}(-1; 1; 0)\) и \(\overrightarrow{AC_1}(-1; -1; 2)\): \[\begin{cases} -a + b = 0, \\ -a - b + 2c = 0. \end{cases}\]
Отсюда \(b = a\), \(c = a\); при \(a = 1\) получаем \(\vec{n}(1; 1; 1)\). Плоскость \(x + y + z + d = 0\) проходит через точку \(C_1(0; 0; 2)\): \(2 + d = 0\), \(d = -2\). Уравнение плоскости \(\alpha\): \(x + y + z - 2 = 0\) (точка \(A(1; 1; 0)\) ему удовлетворяет).
Сфера касается плоскости \(\alpha\) в точке \(T\), поэтому расстояние \(OT\) от точки \(O(r; r; r)\) до плоскости \(\alpha\) равно \(r\); по формуле расстояния от точки до плоскости: \[\begin{aligned} \frac{|r + r + r - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} &= r; \\ \frac{|3r - 2|}{\sqrt{3}} &= r; \qquad | \cdot \sqrt{3} \\ |3r - 2| &= r\sqrt{3}. \end{aligned}\]
Если \(3r - 2 \geqslant 0\), то \(3r - 2 = r\sqrt{3}\) и \(r = \frac{2}{3 - \sqrt{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3} > 1\): точка касания \((r; 0; r)\) сферы с плоскостью грани \(BB_1C_1C\) лежала бы вне этой грани (\(x_0 = r > CB\)), а по условию сфера касается грани. Значит, \(3r - 2 < 0\), \(2 - 3r = r\sqrt{3}\) и \[r = \frac{2}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2(3 - \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} \text{ (см)}.\]
Ответ: \(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}\) см.
