Страница 127 номер 13.48, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Через центр сферы радиуса \(R\) проведены три попарно перпендикулярные плоскости. Найдите радиус сферы, касающейся всех этих плоскостей и данной сферы.
Дано:
сфера с центром \(O\) и радиусом \(R\)
плоскости \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) проходят через точку \(O\) и попарно перпендикулярны
сфера с центром \(O_1\) и радиусом \(r\) касается плоскостей \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) и данной сферы
Найти: \(r\).
Решение: Плоскости \(\beta\) и \(\gamma\) различны и имеют общую точку \(O\), то есть пересекаются, и обе перпендикулярны плоскости \(\alpha\). Поэтому прямая, по которой пересекаются плоскости \(\beta\) и \(\gamma\), перпендикулярна плоскости \(\alpha\), а значит, и прямым, по которым \(\alpha\) пересекается с \(\beta\) и с \(\gamma\); так же прямая пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\gamma\) перпендикулярна плоскости \(\beta\) и лежащей в ней прямой пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\). Значит, три прямые, по которым попарно пересекаются данные плоскости, проходят через точку \(O\) и попарно перпендикулярны. Введём систему координат с началом \(O\), направив оси \(x\), \(y\), \(z\) по прямым пересечения плоскостей \(\beta\) и \(\gamma\), \(\alpha\) и \(\gamma\), \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно; тогда \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) — координатные плоскости \(yz\), \(xz\) и \(xy\).
Пусть \(O_1(x_0; y_0; z_0)\). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому расстояние от центра \(O_1\) до каждой из плоскостей \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) равно радиусу \(r\). Расстояния от точки \(O_1\) до координатных плоскостей \(yz\), \(xz\), \(xy\) равны \(|x_0|\), \(|y_0|\), \(|z_0|\), поэтому \(|x_0| = |y_0| = |z_0| = r\) и
\[OO_1 = \sqrt{x_0^2 + y_0^2 + z_0^2} = \sqrt{3r^2} = r\sqrt{3}.\]
Центры касающихся сфер и точка касания \(K\) лежат на одной прямой, поэтому при внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов, а при внутреннем — разности радиусов.
При внешнем касании \(OO_1 = R + r\):
\[\begin{aligned} r\sqrt{3} &= R + r; \\ r(\sqrt{3} - 1) &= R; \qquad | : (\sqrt{3} - 1) \\ r &= \frac{R}{\sqrt{3} - 1} = \frac{R(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{3} + 1)R}{2}. \end{aligned}\]
При внутреннем касании один из шаров, ограниченных сферами, содержится в другом. Шар радиуса \(r\) не может содержать данный шар: тогда было бы \(OO_1 = r - R < r\), а \(OO_1 = r\sqrt{3} > r\). Значит, искомая сфера лежит в шаре, ограниченном данной сферой, и \(OO_1 = R - r\):
\[\begin{aligned} r\sqrt{3} &= R - r; \\ r(\sqrt{3} + 1) &= R; \qquad | : (\sqrt{3} + 1) \\ r &= \frac{R}{\sqrt{3} + 1} = \frac{R(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(\sqrt{3} - 1)R}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{(\sqrt{3} + 1)R}{2}\) (касание внешнее) или \(\frac{(\sqrt{3} - 1)R}{2}\) (касание внутреннее).
Через центр сферы радиуса \(R\) проведены три попарно перпендикулярные плоскости. Найдите радиус сферы, касающейся всех этих плоскостей и данной сферы.
Дано:
сфера с центром \(O\) и радиусом \(R\)
плоскости \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) проходят через точку \(O\) и попарно перпендикулярны
сфера с центром \(O_1\) и радиусом \(r\) касается плоскостей \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) и данной сферы
Найти: \(r\).
Решение: Если каждая из двух пересекающихся плоскостей перпендикулярна третьей плоскости, то прямая их пересечения перпендикулярна этой плоскости. Плоскости \(\beta\) и \(\gamma\) различны и имеют общую точку \(O\), то есть пересекаются, и обе перпендикулярны плоскости \(\alpha\). Поэтому прямая, по которой пересекаются плоскости \(\beta\) и \(\gamma\), перпендикулярна плоскости \(\alpha\), а значит, и прямым, по которым \(\alpha\) пересекается с \(\beta\) и с \(\gamma\); так же прямая пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\gamma\) перпендикулярна плоскости \(\beta\) и лежащей в ней прямой пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\). Значит, три прямые, по которым попарно пересекаются данные плоскости, проходят через точку \(O\) и попарно перпендикулярны. Введём систему координат с началом \(O\), направив оси \(x\), \(y\), \(z\) по прямым пересечения плоскостей \(\beta\) и \(\gamma\), \(\alpha\) и \(\gamma\), \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно; тогда \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) — координатные плоскости \(yz\), \(xz\) и \(xy\).
Пусть \(O_1(x_0; y_0; z_0)\). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому расстояние от центра \(O_1\) до каждой из плоскостей \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) равно радиусу \(r\). Расстояния от точки \(O_1\) до координатных плоскостей \(yz\), \(xz\), \(xy\) равны \(|x_0|\), \(|y_0|\), \(|z_0|\), поэтому \(|x_0| = |y_0| = |z_0| = r\) и
\[OO_1 = \sqrt{x_0^2 + y_0^2 + z_0^2} = \sqrt{3r^2} = r\sqrt{3}.\]
Центры касающихся сфер и точка касания \(K\) лежат на одной прямой, поэтому при внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов, а при внутреннем — разности радиусов.
При внешнем касании \(OO_1 = R + r\):
\[\begin{aligned} r\sqrt{3} &= R + r; \\ r(\sqrt{3} - 1) &= R; \qquad | : (\sqrt{3} - 1) \\ r &= \frac{R}{\sqrt{3} - 1} = \frac{R(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{3} + 1)R}{2}. \end{aligned}\]
При внутреннем касании один из шаров, ограниченных сферами, содержится в другом. Шар радиуса \(r\) не может содержать данный шар: тогда было бы \(OO_1 = r - R < r\), а \(OO_1 = r\sqrt{3} > r\). Значит, искомая сфера лежит в шаре, ограниченном данной сферой, и \(OO_1 = R - r\):
\[\begin{aligned} r\sqrt{3} &= R - r; \\ r(\sqrt{3} + 1) &= R; \qquad | : (\sqrt{3} + 1) \\ r &= \frac{R}{\sqrt{3} + 1} = \frac{R(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(\sqrt{3} - 1)R}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{(\sqrt{3} + 1)R}{2}\) (касание внешнее) или \(\frac{(\sqrt{3} - 1)R}{2}\) (касание внутреннее).
