Страница 127 номер 13.49, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб, \(AB = a\)
сфера с центром \(O_1\) и радиусом \(r_1\) лежит в кубе и касается трёх граней с общей вершиной \(A\)
сфера с центром \(O_2\) и радиусом \(r_2\) лежит в кубе и касается трёх граней с общей вершиной \(C_1\)
сферы касаются друг друга

Найти: \(O_1O_2\).

Решение: Введём систему координат с началом в точке \(A\), направив оси \(x\), \(y\), \(z\) по лучам \(AB\), \(AD\), \(AA_1\). Тогда грани с общей вершиной \(A\) лежат в координатных плоскостях, а грани с общей вершиной \(C_1(a; a; a)\) — в плоскостях \(x = a\), \(y = a\), \(z = a\).

Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому центр сферы удалён от плоскости каждой грани, которой касается сфера, на её радиус. Центр \(O_1\) лежит внутри куба и удалён от плоскостей \(x = 0\), \(y = 0\), \(z = 0\) на \(r_1\), поэтому \(O_1(r_1; r_1; r_1)\); так же центр \(O_2\) удалён на \(r_2\) от плоскостей \(x = a\), \(y = a\), \(z = a\), поэтому \(O_2(a - r_2; a - r_2; a - r_2)\). Сфера с центром \(O_1\) лежит между плоскостями \(x = 0\) и \(x = a\), поэтому её диаметр не больше ребра куба: \(2r_1 \leqslant a\); так же \(2r_2 \leqslant a\). Значит, \(a - r_1 - r_2 \geqslant 0\) и

\[O_1O_2 = \sqrt{3(a - r_1 - r_2)^2} = \sqrt{3}(a - r_1 - r_2).\]

Центры касающихся сфер и точка касания \(K\) лежат на одной прямой, поэтому при внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов, а при внутреннем — разности радиусов.

Касание не может быть внутренним. Пусть для определённости \(r_1 \geqslant r_2\); при внутреннем касании \(O_1O_2 = r_1 - r_2\) и

\[\begin{aligned} \sqrt{3}(a - r_1 - r_2) &= r_1 - r_2; \\ \sqrt{3}a &= (\sqrt{3} + 1)r_1 + (\sqrt{3} - 1)r_2. \end{aligned}\]

Но \(r_1 \leqslant \frac{a}{2}\) и \(r_2 \leqslant \frac{a}{2}\), поэтому правая часть не больше чем \((\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{a}{2} + (\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{a}{2} = \sqrt{3}a\), и равенство выполняется только при \(r_1 = r_2 = \frac{a}{2}\). Тогда \(O_1O_2 = r_1 - r_2 = 0\) и сферы совпадают, а по условию это две разные касающиеся сферы.

Значит, касание внешнее и \(r_1 + r_2 = O_1O_2\). Подставим это в найденное выражение для \(O_1O_2\):

\[\begin{aligned} \sqrt{3}(a - O_1O_2) &= O_1O_2; \\ (\sqrt{3} + 1) \cdot O_1O_2 &= \sqrt{3}a; \qquad | : (\sqrt{3} + 1) \\ O_1O_2 &= \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)a}{2} = \frac{(3 - \sqrt{3})a}{2}. \end{aligned}\]

Ответ: \(\frac{(3 - \sqrt{3})a}{2}\).