Страница 127 номер 13.51, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в точках, являющихся вершинами треугольника со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\). Найдите радиусы сфер.
Дано:
сферы с центрами \(O_1\), \(O_2\), \(O_3\) и радиусами \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\) попарно касаются внешним образом
сферы касаются плоскости \(\alpha\) в точках \(A\), \(B\), \(C\) соответственно
\(BC = a\), \(AC = b\), \(AB = c\)
Найти: \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\).
Решение: Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому \(O_1A \perp \alpha\), \(O_2B \perp \alpha\), \(O_3C \perp \alpha\), причём \(O_1A = r_1\), \(O_2B = r_2\), \(O_3C = r_3\). Все три сферы лежат по одну сторону от плоскости \(\alpha\): если бы две из них лежали по разные стороны, их общая точка лежала бы в плоскости \(\alpha\), то есть совпадала бы с каждой из точек касания этих сфер с плоскостью, а точки \(A\), \(B\), \(C\) различны.
Прямые \(O_1A\) и \(O_2B\) перпендикулярны одной плоскости, поэтому они параллельны и лежат в одной плоскости, а точки \(O_1\) и \(O_2\) лежат в ней по одну сторону от прямой \(AB\). Центры касающихся сфер и точка касания лежат на одной прямой, поэтому при внешнем касании \(O_1O_2 = r_1 + r_2\). Пусть для определённости \(r_1 \leqslant r_2\). Проведём через точку \(O_1\) прямую, параллельную \(AB\); она пересекает отрезок \(O_2B\) в точке \(H\) (при \(r_1 = r_2\) точка \(H\) совпадает с \(O_2\)). Четырёхугольник \(ABHO_1\) — прямоугольник, поэтому \(O_1H = AB\), \(BH = r_1\) и \(HO_2 = r_2 - r_1\).
Из прямоугольного треугольника \(O_1HO_2\):
\[\begin{aligned} O_1H^2 + HO_2^2 &= O_1O_2^2; \\ AB^2 + (r_2 - r_1)^2 &= (r_1 + r_2)^2; \\ AB^2 &= 4r_1r_2; \\ AB &= 2\sqrt{r_1r_2}. \end{aligned}\]
Это равенство не зависит от того, какой из радиусов больше, поэтому для каждых двух сфер расстояние между точками их касания с плоскостью \(\alpha\) равно удвоенному квадратному корню из произведения их радиусов: \(c = 2\sqrt{r_1r_2}\), \(a = 2\sqrt{r_2r_3}\), \(b = 2\sqrt{r_1r_3}\). Отсюда
\[\begin{aligned} r_1r_2 &= \frac{c^2}{4}; \\ r_2r_3 &= \frac{a^2}{4}; \\ r_1r_3 &= \frac{b^2}{4}. \end{aligned}\]
Перемножив эти равенства, получим \((r_1r_2r_3)^2 = \frac{a^2b^2c^2}{64}\), откуда \(r_1r_2r_3 = \frac{abc}{8}\) (радиусы положительны). Тогда
\[\begin{aligned} r_1 &= \frac{r_1r_2r_3}{r_2r_3} = \frac{abc}{8} : \frac{a^2}{4} = \frac{bc}{2a}; \\ r_2 &= \frac{r_1r_2r_3}{r_1r_3} = \frac{abc}{8} : \frac{b^2}{4} = \frac{ac}{2b}; \\ r_3 &= \frac{r_1r_2r_3}{r_1r_2} = \frac{abc}{8} : \frac{c^2}{4} = \frac{ab}{2c}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{bc}{2a}\), \(\frac{ac}{2b}\) и \(\frac{ab}{2c}\) — радиусы сфер, касающихся плоскости в вершинах треугольника, противолежащих сторонам \(a\), \(b\) и \(c\) соответственно.
Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в точках, являющихся вершинами треугольника со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\). Найдите радиусы сфер.
Дано:
сферы с центрами \(O_1\), \(O_2\), \(O_3\) и радиусами \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\) попарно касаются внешним образом
сферы касаются плоскости \(\alpha\) в точках \(A\), \(B\), \(C\) соответственно
\(BC = a\), \(AC = b\), \(AB = c\)
Найти: \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\).
Решение: Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому \(O_1A \perp \alpha\), \(O_2B \perp \alpha\), \(O_3C \perp \alpha\), причём \(O_1A = r_1\), \(O_2B = r_2\), \(O_3C = r_3\). Все три сферы лежат по одну сторону от плоскости \(\alpha\): если бы две из них лежали по разные стороны, их общая точка лежала бы в плоскости \(\alpha\), то есть совпадала бы с каждой из точек касания этих сфер с плоскостью, а точки \(A\), \(B\), \(C\) различны.
Рассмотрим сферы с центрами \(O_1\) и \(O_2\). Прямые \(O_1A\) и \(O_2B\) перпендикулярны одной плоскости, поэтому они параллельны и лежат в одной плоскости, а точки \(O_1\) и \(O_2\) лежат в ней по одну сторону от прямой \(AB\). Центры касающихся сфер и точка касания лежат на одной прямой, поэтому при внешнем касании \(O_1O_2 = r_1 + r_2\). Пусть для определённости \(r_1 \leqslant r_2\). Проведём через точку \(O_1\) прямую, параллельную \(AB\); она пересекает отрезок \(O_2B\) в точке \(H\) (при \(r_1 = r_2\) точка \(H\) совпадает с \(O_2\)). Четырёхугольник \(ABHO_1\) — прямоугольник, поэтому \(O_1H = AB\), \(BH = r_1\) и \(HO_2 = r_2 - r_1\).
Из прямоугольного треугольника \(O_1HO_2\):
\[\begin{aligned} O_1H^2 + HO_2^2 &= O_1O_2^2; \\ AB^2 + (r_2 - r_1)^2 &= (r_1 + r_2)^2; \\ AB^2 &= 4r_1r_2; \\ AB &= 2\sqrt{r_1r_2}. \end{aligned}\]
Это равенство не зависит от того, какой из радиусов больше, поэтому для каждых двух сфер расстояние между точками их касания с плоскостью \(\alpha\) равно удвоенному квадратному корню из произведения их радиусов: \(c = 2\sqrt{r_1r_2}\), \(a = 2\sqrt{r_2r_3}\), \(b = 2\sqrt{r_1r_3}\). Отсюда
\[\begin{aligned} r_1r_2 &= \frac{c^2}{4}; \\ r_2r_3 &= \frac{a^2}{4}; \\ r_1r_3 &= \frac{b^2}{4}. \end{aligned}\]
Перемножив эти равенства, получим \((r_1r_2r_3)^2 = \frac{a^2b^2c^2}{64}\), откуда \(r_1r_2r_3 = \frac{abc}{8}\) (радиусы положительны). Тогда
\[\begin{aligned} r_1 &= \frac{r_1r_2r_3}{r_2r_3} = \frac{abc}{8} : \frac{a^2}{4} = \frac{bc}{2a}; \\ r_2 &= \frac{r_1r_2r_3}{r_1r_3} = \frac{abc}{8} : \frac{b^2}{4} = \frac{ac}{2b}; \\ r_3 &= \frac{r_1r_2r_3}{r_1r_2} = \frac{abc}{8} : \frac{c^2}{4} = \frac{ab}{2c}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{bc}{2a}\), \(\frac{ac}{2b}\) и \(\frac{ab}{2c}\) — радиусы сфер, касающихся плоскости в вершинах треугольника, противолежащих сторонам \(a\), \(b\) и \(c\) соответственно.
