Страница 125 номер 13.29, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) в точке \(A(-2; 1; 2)\).
Сфера имеет центр \(O(0; 0; 0)\) и радиус 3; точка \(A(-2; 1; 2)\) лежит на ней: \((-2)^2 + 1^2 + 2^2 = 9\). Через точку сферы можно провести касательную плоскость, и притом только одну. Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому искомая плоскость перпендикулярна прямой \(OA\), и ненулевой вектор \(\overrightarrow{OA}(-2; 1; 2)\) — её вектор нормали. Уравнение плоскости с вектором нормали \(\overrightarrow{OA}(-2; 1; 2)\), проходящей через точку \(A(-2; 1; 2)\): \[\begin{aligned} -2(x + 2) + 1 \cdot (y - 1) + 2(z - 2) &= 0; \\ -2x + y + 2z - 9 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 2x - y - 2z + 9 &= 0. \end{aligned}\]
Ответ: \(2x - y - 2z + 9 = 0\).
Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) в точке \(A(-2; 1; 2)\).
Сфера \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) имеет центр \(O(0; 0; 0)\) и радиус 3; точка \(A(-2; 1; 2)\) лежит на ней: \((-2)^2 + 1^2 + 2^2 = 9\). Через точку сферы можно провести касательную плоскость, и притом только одну. Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому искомая плоскость перпендикулярна прямой \(OA\), и ненулевой вектор \(\overrightarrow{OA}(-2; 1; 2)\) — её вектор нормали. Уравнение плоскости с вектором нормали \(\overrightarrow{OA}(-2; 1; 2)\), проходящей через точку \(A(-2; 1; 2)\): \[\begin{aligned} -2(x + 2) + 1 \cdot (y - 1) + 2(z - 2) &= 0; \\ -2x + y + 2z - 9 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 2x - y - 2z + 9 &= 0. \end{aligned}\]
Ответ: \(2x - y - 2z + 9 = 0\).
