Страница 126 номер 13.41, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Пусть \(M\) — середина отрезка \(AB\). Докажем, что искомое ГМТ — сфера с центром \(M\) радиуса \(\frac{AB}{2}\), то есть сфера с диаметром \(AB\), без точки \(A\). Рассматриваются плоскости, проходящие через \(B\) и не проходящие через \(A\): на плоскость, содержащую точку \(A\), перпендикуляр из \(A\) не опускается.

1) Каждое основание перпендикуляра лежит на сфере и отлично от \(A\). Пусть плоскость \(\alpha\) проходит через \(B\) и не проходит через \(A\), а \(X\) — основание перпендикуляра, опущенного из \(A\) на \(\alpha\). Точка \(X\) лежит в \(\alpha\), а \(A\) — нет, поэтому \(X \ne A\). Если \(X = B\), то \(X\) — конец диаметра \(AB\) и лежит на сфере. Если \(X \ne B\), то прямая \(XB\) лежит в плоскости \(\alpha\), поэтому \(AX \perp XB\), и в прямоугольном треугольнике \(AXB\) медиана \(XM\), проведённая к гипотенузе, равна её половине: \(XM = \frac{AB}{2}\), то есть точка \(X\) лежит на сфере.

2) Каждая точка сферы, кроме \(A\), — основание такого перпендикуляра. Пусть \(X\) — точка сферы, \(X \ne A\). Если \(X = B\), то \(X\) — основание перпендикуляра, опущенного из \(A\) на плоскость, проходящую через \(B\) перпендикулярно \(AB\). Пусть \(X \ne B\). Точка \(X\) не лежит на прямой \(AB\): на этой прямой от точки \(M\) на расстоянии \(\frac{AB}{2}\) находятся только точки \(A\) и \(B\). В треугольнике \(AXB\) медиана \(XM\) равна половине стороны \(AB\) (\(XM = MA = MB\) — радиусы сферы), поэтому \(\angle AXB = 90^\circ\). Проведём через точку \(B\) плоскость \(\alpha\), перпендикулярную прямой \(AX\); она пересекает эту прямую в некоторой точке \(Y\), и \(BY \perp AX\). Точки \(X\) и \(Y\) лежат на прямой \(AX\), поэтому прямые \(BX\) и \(BY\) лежат в плоскости \(ABX\); в этой плоскости из точки \(B\) к прямой \(AX\) можно провести только один перпендикуляр, а \(BX \perp AX\), поэтому \(Y = X\). Значит, плоскость \(\alpha\) проходит через \(B\), не содержит \(A\), и \(X\) — основание перпендикуляра, опущенного из \(A\) на \(\alpha\).

Следовательно, искомое ГМТ — сфера с диаметром \(AB\) без точки \(A\).

Ответ: сфера с диаметром \(AB\) без точки \(A\).