Страница 134 номер 14.3, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 2 см, а сторона основания — 12 см. Найдите радиус шара, в который вписана данная призма.
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная призма
\(AA_1 = 2\) см
\(AB = 12\) см
призма вписана в шар
Найти: \(R\) — радиус шара.
Решение: Вершины призмы лежат на поверхности шара — сфере, описанной около призмы, и \(R = OA\), где \(O\) — центр шара. Правильная призма — прямая, а около её основания — правильного треугольника — можно описать окружность. Центр сферы, описанной около прямой призмы, является серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы: точка \(O\) — середина отрезка \(O_1O_2\), где \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). Отрезок \(O_1O_2\) параллелен боковым рёбрам и равен им, а боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания; значит, \(OO_1 \perp O_1A\) и \(OO_1 = \frac{1}{2}AA_1 = 1\) см.
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной \(AB = 12\) см: \[O_1A = \frac{AB\sqrt{3}}{3} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ (см)}.\] Из прямоугольного треугольника \(OO_1A\): \[\begin{aligned} &R = OA = \sqrt{OO_1^2 + O_1A^2} = {} \\ &= \sqrt{1^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{49} = 7 \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Ответ: 7 см.
Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 2 см, а сторона основания — 12 см. Найдите радиус шара, в который вписана данная призма.
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная призма
\(AA_1 = 2\) см
\(AB = 12\) см
призма вписана в шар
Найти: \(R\) — радиус шара.
Решение: Призма вписана в шар, значит, её вершины лежат на поверхности шара — сфере, описанной около призмы, и \(R = OA\), где \(O\) — центр шара. Правильная призма — прямая, а около её основания — правильного треугольника — можно описать окружность. Центр сферы, описанной около прямой призмы, является серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы: точка \(O\) — середина отрезка \(O_1O_2\), где \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). Отрезок \(O_1O_2\) параллелен боковым рёбрам и равен им, а боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания; значит, \(OO_1 \perp O_1A\) и \(OO_1 = \frac{1}{2}AA_1 = 1\) см.
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной \(AB = 12\) см: \[O_1A = \frac{AB\sqrt{3}}{3} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ (см)}.\] Из прямоугольного треугольника \(OO_1A\): \[\begin{aligned} &R = OA = \sqrt{OO_1^2 + O_1A^2} = {} \\ &= \sqrt{1^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{49} = 7 \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Ответ: 7 см.
