Страница 134 номер 14.9, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В шар радиуса \(R\) вписана правильная четырёхугольная пирамида, боковое ребро которой образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите высоту пирамиды.
Дано:
\(SABCD\) — правильная пирамида
пирамида вписана в шар
\(R\) — радиус шара
угол между ребром \(SA\) и плоскостью \(ABC\) равен \(\alpha\)
Найти: \(h\) — высоту пирамиды.
Решение: Пусть \(SO_1 = h\) — высота пирамиды. Вершины пирамиды лежат на сфере — поверхности шара, и центр \(O\) этой сферы равноудалён от всех вершин пирамиды. Пирамида правильная, поэтому её основание \(ABCD\) — квадрат, а \(O_1\) — центр квадрата, то есть центр описанной около него окружности и середина диагонали \(AC\). Точки, равноудалённые от вершин многоугольника, вписанного в окружность, лежат на прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр этой окружности. Значит, центр \(O\) лежит на прямой \(SO_1\).
Отрезок \(AO_1\) — проекция ребра \(SA\) на плоскость основания, поэтому угол между ребром \(SA\) и плоскостью основания — угол \(SAO_1\): \(\angle SAO_1 = \alpha\).
Прямая \(SO_1\) пересекает сферу в точке \(S\) и ещё в одной точке \(S_1\); она проходит через центр, поэтому \(SS_1\) — диаметр сферы: \(SS_1 = 2R\). Плоскость \(SAC\) содержит прямую \(SO_1\), а значит, и центр сферы; она пересекает сферу по большой окружности с диаметром \(SS_1\), на которой лежит точка \(A\). Вписанный угол \(SAS_1\) опирается на диаметр, поэтому \(\angle SAS_1 = 90^\circ\). Прямая \(SO_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(AO_1 \perp SS_1\), и \(AO_1\) — высота прямоугольного треугольника \(SAS_1\), проведённая к гипотенузе. Из прямоугольного треугольника \(SO_1A\): \(\angle ASS_1 = \angle ASO_1 = 90^\circ - \alpha\).
Из прямоугольных треугольников \(SAS_1\) и \(SO_1A\): \[\begin{aligned} SA &= SS_1 \cdot \cos\angle ASS_1 = 2R\cos(90^\circ - \alpha) = 2R\sin\alpha; \\ h &= SO_1 = SA \cdot \sin\angle SAO_1 = 2R\sin\alpha \cdot \sin\alpha = 2R\sin^2\alpha. \end{aligned}\]
Это рассуждение не зависит от того, где на прямой \(SO_1\) лежит центр \(O\): внутри пирамиды, в центре основания или вне пирамиды.
Ответ: \(2R\sin^2\alpha\).
В шар радиуса \(R\) вписана правильная четырёхугольная пирамида, боковое ребро которой образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите высоту пирамиды.
Дано:
\(SABCD\) — правильная пирамида
пирамида вписана в шар
\(R\) — радиус шара
угол между ребром \(SA\) и плоскостью \(ABC\) равен \(\alpha\)
Найти: \(h\) — высоту пирамиды.
Решение: Пусть \(SO_1 = h\) — высота пирамиды. Пирамида вписана в шар, значит, её вершины лежат на сфере — поверхности шара, и центр \(O\) этой сферы равноудалён от всех вершин пирамиды. Пирамида правильная, поэтому её основание \(ABCD\) — квадрат, а \(O_1\) — центр квадрата, то есть центр описанной около него окружности и середина диагонали \(AC\). Точки, равноудалённые от вершин многоугольника, вписанного в окружность, лежат на прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр этой окружности. Значит, центр \(O\) лежит на прямой \(SO_1\).
Отрезок \(AO_1\) — проекция ребра \(SA\) на плоскость основания, поэтому угол между ребром \(SA\) и плоскостью основания — угол \(SAO_1\): \(\angle SAO_1 = \alpha\).
Прямая \(SO_1\) пересекает сферу в точке \(S\) и ещё в одной точке \(S_1\); она проходит через центр, поэтому \(SS_1\) — диаметр сферы: \(SS_1 = 2R\). Плоскость \(SAC\) содержит прямую \(SO_1\), а значит, и центр сферы; она пересекает сферу по большой окружности с диаметром \(SS_1\), на которой лежит точка \(A\). Вписанный угол \(SAS_1\) опирается на диаметр, поэтому \(\angle SAS_1 = 90^\circ\). Прямая \(SO_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(AO_1 \perp SS_1\), и \(AO_1\) — высота прямоугольного треугольника \(SAS_1\), проведённая к гипотенузе. Из прямоугольного треугольника \(SO_1A\): \(\angle ASS_1 = \angle ASO_1 = 90^\circ - \alpha\).
Из прямоугольных треугольников \(SAS_1\) и \(SO_1A\): \[\begin{aligned} SA &= SS_1 \cdot \cos\angle ASS_1 = 2R\cos(90^\circ - \alpha) = 2R\sin\alpha; \\ h &= SO_1 = SA \cdot \sin\angle SAO_1 = 2R\sin\alpha \cdot \sin\alpha = 2R\sin^2\alpha. \end{aligned}\]
Это рассуждение не зависит от того, где на прямой \(SO_1\) лежит центр \(O\): внутри пирамиды, в центре основания или вне пирамиды.
Ответ: \(2R\sin^2\alpha\).
