Страница 124 номер 13.20, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
сфера с центром \(O\), \(OA\) — её радиус
точки \(B\) и \(C\) лежат на радиусе \(OA\), точка \(B\) — между \(O\) и \(C\)
плоскости, проходящие через \(B\) и \(C\) перпендикулярно прямой \(OA\), пересекают сферу по окружностям длиной \(24\pi\) см и \(18\pi\) см
расстояние между этими плоскостями равно \(3\) см

Найти: \(R\) — радиус сферы.

Решение: Обе плоскости перпендикулярны прямой \(OA\) и различны (они пересекают её в разных точках \(B\) и \(C\)), поэтому они параллельны, отрезки \(OB\) и \(OC\) — перпендикуляры, опущенные из центра сферы на эти плоскости, а расстояние между плоскостями равно \(BC\): \(BC = 3\) см. Сечение сферы плоскостью, удалённой от центра на расстояние \(d < R\), — окружность с центром в основании перпендикуляра, опущенного из центра на плоскость, и радиусом \(\sqrt{R^2 - d^2}\). Значит, центры окружностей сечений — точки \(B\) и \(C\), а радиусы этих окружностей равны \(\frac{24\pi}{2\pi} = 12\) (см) и \(\frac{18\pi}{2\pi} = 9\) (см).

Из двух сечений сферы больший радиус имеет сечение, плоскость которого менее удалена от центра сферы. Так как \(OB < OC\), окружность с центром \(B\) имеет радиус 12 см, а окружность с центром \(C\) — радиус 9 см.

Пусть \(M\) и \(N\) — точки окружностей с центрами \(B\) и \(C\), \(OB = x\) см; тогда \(OC = (x + 3)\) см, \(BM = 12\) см, \(CN = 9\) см, \(OM = ON = R\). Квадрат радиуса сечения равен \(R^2 - d^2\) (прямоугольные треугольники \(OBM\) и \(OCN\)), поэтому \(R^2 = x^2 + 12^2\) и \(R^2 = (x + 3)^2 + 9^2\), откуда

\[\begin{aligned} x^2 + 144 &= (x + 3)^2 + 81; \\ x^2 + 144 &= x^2 + 6x + 90; \\ 6x &= 54; \qquad | : 6 \\ x &= 9. \end{aligned}\]

Тогда \(R^2 = 9^2 + 12^2 = 225\), \(R = 15\) см.

Ответ: 15 см.