Страница 125 номер 13.34, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — ромб, \(AB = a\), \(\angle BAD = \alpha\) — острый угол
стороны ромба касаются сферы с центром \(O\), диаметр сферы равен \(a\)

Найти: расстояние от точки \(O\) до плоскости ромба.

Решение: Радиус сферы \(R = \frac{a}{2}\). Пусть \(O_1\) — основание перпендикуляра, опущенного из \(O\) на плоскость ромба, \(K\) и \(L\) — точки касания сферы со сторонами \(AB\) и \(CD\). Прямые \(AB\) и \(CD\) параллельны и не имеют общих точек, поэтому \(K \neq L\), и плоскость ромба имеет со сферой больше одной общей точки. Значит, расстояние \(OO_1\) меньше радиуса, и сечение сферы плоскостью ромба — окружность с центром \(O_1\).

Прямые \(AB\) и \(CD\) касаются сферы, то есть лежат в касательных плоскостях и потому имеют со сферой единственную общую точку. Они лежат в плоскости ромба, поэтому каждая из них имеет единственную общую точку и с окружностью сечения — касается её (в точках \(K\) и \(L\)). В плоскости ромба радиусы \(O_1K\) и \(O_1L\), проведённые в точки касания, перпендикулярны параллельным прямым \(AB\) и \(CD\), поэтому лежат на одной прямой: \(KL\) — диаметр окружности сечения, перпендикулярный прямым \(AB\) и \(CD\), и он равен расстоянию между этими прямыми — высоте ромба.

Пусть \(DH\) — высота ромба, проведённая к стороне \(AB\). Из прямоугольного треугольника \(ADH\): \(DH = AD \sin\alpha = a\sin\alpha\). Значит, \(KL = a\sin\alpha\) и радиус окружности сечения \(O_1K = \frac{a\sin\alpha}{2}\).

Угол \(\alpha\) острый, поэтому \(\sin\alpha < 1\), \(\cos\alpha > 0\) и \(\sqrt{\cos^2\alpha} = \cos\alpha\). Радиус сечения \(\frac{a\sin\alpha}{2}\) меньше радиуса сферы \(\frac{a}{2}\), поэтому плоскость ромба не проходит через центр \(O\) (иначе сечение было бы большой окружностью) и \(O \neq O_1\). Прямая \(OO_1\) перпендикулярна плоскости ромба, поэтому \(OO_1 \perp O_1K\); точка \(K\) лежит на сфере, \(OK = R = \frac{a}{2}\). Из прямоугольного треугольника \(OO_1K\): \[\begin{aligned} &OO_1 = \sqrt{OK^2 - O_1K^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} - \frac{a^2\sin^2\alpha}{4}} = {} \\ &= \frac{a}{2}\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \frac{a}{2}\sqrt{\cos^2\alpha} = \frac{a\cos\alpha}{2}. \end{aligned}\]

Ответ: \(\frac{1}{2}a\cos\alpha\).