Страница 126 номер 13.38, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
шар с центром \(O\) радиуса \(R\)
два равных сечения шара, \(AB = a\) — их общая хорда
угол между плоскостями сечений равен \(\alpha\)

Найти: \(S\) — площадь каждого сечения.

Решение: Хорда шара не длиннее его диаметра: \(a \leqslant 2R\). Если \(a = 2R\), то \(AB\) — диаметр шара, обе плоскости проходят через его центр, оба сечения — большие круги и \(S = \pi R^2\); это значение дают и обе формулы, полученные ниже. Далее \(a < 2R\).

Пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры сечений, \(r\) — их радиус (сечения равны), \(K\) — середина хорды \(AB\). Точки \(O\), \(O_1\) и \(O_2\) равноудалены от концов хорды (\(OA = OB = R\), \(O_1A = O_1B = O_2A = O_2B = r\)), поэтому лежат в плоскости \(\gamma\), перпендикулярной \(AB\) и проходящей через \(K\) (геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка). Отрезок \(OK\) лежит в плоскости \(\gamma\), поэтому \(OK \perp AB\) и \(OK^2 = OA^2 - AK^2 = R^2 - \frac{a^2}{4} > 0\).

Плоскость \(\gamma\) пересекает плоскости сечений по прямым \(p_1\) и \(p_2\), проходящим через \(K\) перпендикулярно \(AB\); углы между прямыми \(p_1\) и \(p_2\) — линейные углы двугранных углов, образованных плоскостями сечений: два из них равны \(\alpha\), два других — \(180^\circ - \alpha\). Центр сечения шара — основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость сечения, поэтому \(O_1\) и \(O_2\) — основания перпендикуляров, опущенных из точки \(O\) на прямые \(p_1\) и \(p_2\), и \(OO_1 = OO_2 = \sqrt{R^2 - r^2}\). Точка \(O\) плоскости \(\gamma\) равноудалена от пересекающихся прямых \(p_1\) и \(p_2\), значит, лежит на одной из двух прямых, содержащих биссектрисы углов между ними. Отрезок \(O_1K\) лежит на прямой \(p_1\), поэтому \(O_1K \perp AB\) и \(r^2 = O_1A^2 = O_1K^2 + AK^2 = O_1K^2 + \frac{a^2}{4}\).

1) Точка \(O\) лежит на биссектрисе угла \(\alpha\) между прямыми \(p_1\) и \(p_2\), то есть центр шара лежит внутри двугранного угла \(\alpha\), образованного плоскостями сечений. Тогда \(\angle OKO_1 = \frac{\alpha}{2}\), из прямоугольного треугольника \(OO_1K\) получаем \(O_1K = OK\cos\frac{\alpha}{2}\) и \[\begin{aligned} &r^2 = \left(R^2 - \frac{a^2}{4}\right)\cos^2\frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4} = {} \\ &= R^2\cos^2\frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4}\left(1 - \cos^2\frac{\alpha}{2}\right) = R^2\cos^2\frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4}\sin^2\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\]

Площадь сечения \(S = \pi r^2 = \pi\left(R^2\cos^2\frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4}\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)\).

2) Точка \(O\) лежит на биссектрисе угла \(180^\circ - \alpha\) между прямыми \(p_1\) и \(p_2\), то есть центр шара лежит внутри двугранного угла \(180^\circ - \alpha\). Тогда \(\angle OKO_1 = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\), \(O_1K = OK\cos\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = OK\sin\frac{\alpha}{2}\) и так же \[\begin{aligned} &r^2 = \left(R^2 - \frac{a^2}{4}\right)\sin^2\frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4} = {} \\ &= R^2\sin^2\frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4}\left(1 - \sin^2\frac{\alpha}{2}\right) = R^2\sin^2\frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4}\cos^2\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\]

Площадь сечения \(S = \pi r^2 = \pi\left(R^2\sin^2\frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4}\cos^2\frac{\alpha}{2}\right)\).

Оба случая возможны: прямые \(p_1\) и \(p_2\), проведённые в плоскости \(\gamma\) через точку \(K\) по разные стороны от прямой \(OK\) под углом \(\frac{\alpha}{2}\) к ней (в случае 2 — под углом \(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\)), образуют угол \(\alpha\) и равноудалены от \(O\), поэтому плоскости, проходящие через хорду \(AB\) и эти прямые, пересекают шар по равным кругам с общей хордой \(AB\). При \(\alpha = 90^\circ\) оба значения площади совпадают.

Ответ: \(\pi\left(R^2\cos^2\frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4}\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)\), если центр шара лежит внутри двугранного угла \(\alpha\) между плоскостями сечений, или \(\pi\left(R^2\sin^2\frac{\alpha}{2} + \frac{a^2}{4}\cos^2\frac{\alpha}{2}\right)\), если внутри двугранного угла \(180^\circ - \alpha\); при \(a = 2R\) (хорда \(AB\) — диаметр шара) обе формулы дают \(\pi R^2\).