Страница 134 номер 14.7, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — прямая призма
\(\angle ACB = 150^\circ\)
\(AB = 15\) см
\(AA_1 = 16\) см
призма вписана в сферу

Найти: \(R\) — радиус сферы.

Решение: Вершины призмы лежат на сфере, поэтому \(R = OA\), где \(O\) — центр сферы. Около треугольника \(ABC\) можно описать окружность, а центр сферы, описанной около прямой призмы, является серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы: точка \(O\) — середина отрезка \(O_1O_2\), где \(O_1\) и \(O_2\) — центры окружностей, описанных около треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). Отрезок \(O_1O_2\) параллелен боковым рёбрам и равен им, а боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания; значит, \(OO_1 \perp O_1A\) и \(OO_1 = \frac{1}{2}AA_1 = 8\) см.

Угол \(ACB\) тупой, поэтому центр \(O_1\) лежит вне треугольника \(ABC\), а центр сферы — вне призмы; на вычисление это не влияет.

По теореме синусов радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\): \[O_1A = \frac{AB}{2\sin\angle ACB} = \frac{15}{2\sin 150^\circ} = \frac{15}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 15 \text{ (см)}.\] Из прямоугольного треугольника \(OO_1A\): \[\begin{aligned} &R = OA = \sqrt{OO_1^2 + O_1A^2} = {} \\ &= \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{289} = 17 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Ответ: 17 см.