Вопросы после параграфа §14 на странице 133, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Многогранник называют вписанным в сферу, если все его вершины принадлежат сфере. При этом сферу называют описанной около многогранника. Если многогранник вписан в сферу, то также говорят, что многогранник вписан в шар, ограниченный этой сферой.

Ответ: многогранник называют вписанным в сферу, если все его вершины принадлежат сфере.

Если многогранник вписан в сферу, то центр сферы равноудалён от всех его вершин. Верно и обратное утверждение: если для данного многогранника существует точка, равноудалённая от всех его вершин, то около этого многогранника можно описать сферу — с центром в этой точке и радиусом, равным расстоянию от неё до вершин. Например, все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, пересекаются в одной точке и этой точкой делятся пополам; эта точка равноудалена от всех вершин, поэтому около прямоугольного параллелепипеда можно описать сферу. Сферу можно описать и около любого тетраэдра.

Плоскости граней многогранника, вписанного в сферу, пересекают сферу по окружностям, поэтому каждая грань такого многогранника является многоугольником, вписанным в окружность. Значит, если около какой-то грани многогранника нельзя описать окружность, то около этого многогранника нельзя описать сферу.

Ответ: около многогранника можно описать сферу тогда и только тогда, когда существует точка, равноудалённая от всех его вершин; эта точка — центр описанной сферы.

Пусть призма вписана в сферу. Каждая грань многогранника, вписанного в сферу, является многоугольником, вписанным в окружность, а около параллелограмма, отличного от прямоугольника, описать окружность нельзя. Значит, все боковые грани призмы — прямоугольники: боковое ребро перпендикулярно двум пересекающимся сторонам основания, выходящим из его конца, а значит, и плоскости основания, то есть призма прямая. Поэтому нельзя описать сферу около наклонной призмы. Основание призмы — тоже грань, поэтому около него можно описать окружность.

Обратно: если около основания прямой призмы можно описать окружность, то такую призму можно вписать в сферу, а центр сферы, описанной около призмы, является серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы. Например, в сферу можно вписать любую правильную призму и любую прямую треугольную призму: около любого треугольника можно описать окружность.

Ответ: призму можно вписать в сферу тогда и только тогда, когда она прямая и около её основания можно описать окружность.

Правильная призма — прямая, а её основания — правильные многоугольники, около которых можно описать окружность; поэтому около любой правильной призмы можно описать сферу. Центр сферы, описанной около прямой призмы, является серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы, а центр окружности, описанной около правильного многоугольника, — центр этого многоугольника.

Действительно, пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры оснований правильной призмы, \(O\) — середина отрезка \(O_1O_2\). Отрезок \(O_1O_2\) параллелен боковым рёбрам и перпендикулярен плоскостям оснований. Для любой вершины \(X\) одного основания и любой вершины \(Y\) другого прямоугольные треугольники \(OO_1X\) и \(OO_2Y\) равны по двум катетам: \(OO_1 = OO_2\), а \(O_1X = O_2Y\) как радиусы окружностей, описанных около равных оснований. Значит, \(OX = OY\), и точка \(O\) равноудалена от всех вершин призмы.

Ответ: центр сферы, описанной около правильной призмы, — середина отрезка, соединяющего центры оснований призмы.

Если пирамида вписана в сферу, то каждая её грань, в частности основание, является многоугольником, вписанным в окружность. Обратно: если около основания пирамиды можно описать окружность, то такую пирамиду можно вписать в сферу. Центр такой сферы — точка пересечения прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через центр описанной около основания окружности (точки этой прямой равноудалены от всех вершин основания), с плоскостью, перпендикулярной боковому ребру и проходящей через его середину (точки этой плоскости равноудалены от концов ребра). Например, сферу можно описать около любого тетраэдра и около любой правильной пирамиды.

Ответ: пирамиду можно вписать в сферу тогда и только тогда, когда около её основания можно описать окружность.

Основание правильной пирамиды — правильный многоугольник, около которого можно описать окружность, поэтому около правильной пирамиды можно описать сферу. Основание высоты правильной пирамиды — центр её основания, то есть центр окружности, описанной около основания. Центр описанной сферы равноудалён от вершин основания, поэтому лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через центр этой окружности, — на прямой, содержащей высоту. Значит, центр описанной сферы принадлежит прямой, содержащей высоту правильной пирамиды. В зависимости от размеров пирамиды он может лежать на высоте внутри пирамиды, совпадать с центром основания или лежать на продолжении высоты за основание, вне пирамиды.

Ответ: центр сферы, описанной около правильной пирамиды, принадлежит прямой, содержащей высоту пирамиды: он лежит на высоте внутри пирамиды, в центре основания или на продолжении высоты за основание.