Страница 124 номер 13.19, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
шар с центром \(O\), \(R = 15\) см — его радиус
два параллельных сечения шара имеют равные площади
расстояние между плоскостями сечений равно \(18\) см

Найти: \(S\) — площадь каждого сечения.

Решение: Сечение шара плоскостью, удалённой от центра на расстояние \(d < R\), — круг радиуса \(\sqrt{R^2 - d^2}\) с центром в основании перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость. Площади сечений равны, значит, равны их радиусы, а потому равны и расстояния от центра шара до плоскостей сечений; обозначим это расстояние \(d\).

Прямая, проходящая через \(O\) перпендикулярно одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой; пусть она пересекает плоскости сечений в точках \(O_1\) и \(O_2\). Тогда \(O_1\) и \(O_2\) — центры сечений, \(OO_1 = OO_2 = d\), а \(O_1O_2 = 18\) см — расстояние между плоскостями. Если бы точки \(O_1\) и \(O_2\) совпадали (так было бы при \(d = 0\) или при их расположении по одну сторону от \(O\)), то плоскости сечений имели бы общую точку, — а параллельные плоскости общих точек не имеют. Значит, \(O_1\) и \(O_2\) лежат по разные стороны от точки \(O\), она — середина отрезка \(O_1O_2\) и \(d = 9\) см.

Пусть \(A\) — точка окружности сечения с центром \(O_1\); радиус сечения \(r = O_1A\). Из прямоугольного треугольника \(OO_1A\) с гипотенузой \(OA = R\)

\[O_1A = \sqrt{OA^2 - OO_1^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12 \text{ (см)}.\]

Площадь каждого сечения:

\[S = \pi r^2 = \pi \cdot 12^2 = 144\pi \text{ (см}^2\text{)}.\]

Ответ: \(144\pi\) см\(^2\).