Страница 125 номер 13.33, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
стороны треугольника \(ABC\) касаются сферы с центром \(O\)
\(AB = 17\) см, \(BC = 28\) см, \(AC = 39\) см
\(O_1\) — основание перпендикуляра, опущенного из \(O\) на плоскость \(ABC\), \(OO_1 = 12\) см

Найти: \(R\) — радиус сферы.

Решение: Пусть \(K\), \(L\) и \(N\) — точки касания сферы со сторонами \(AB\), \(BC\) и \(AC\). Никакая точка не принадлежит всем трём сторонам треугольника, поэтому среди точек \(K\), \(L\), \(N\) есть различные, и плоскость \(ABC\) имеет со сферой больше одной общей точки. Значит, расстояние \(OO_1\) от центра сферы до этой плоскости меньше радиуса, и сечение сферы плоскостью \(ABC\) — окружность с центром \(O_1\).

Каждая из прямых \(AB\), \(BC\) и \(AC\) — касательная к сфере: она лежит в касательной плоскости и потому имеет со сферой единственную общую точку. Эти прямые лежат в плоскости \(ABC\), поэтому каждая из них имеет единственную общую точку и с окружностью сечения, то есть касается её, причём точки касания \(K\), \(L\), \(N\) лежат на самих сторонах треугольника. Значит, окружность сечения касается всех трёх сторон треугольника \(ABC\), то есть вписана в него, и её радиус \(O_1K\) равен радиусу \(r\) окружности, вписанной в треугольник \(ABC\).

Полупериметр треугольника \(ABC\): \(p = \frac{17 + 28 + 39}{2} = 42\) (см). Площадь — по формуле Герона: \[\begin{aligned} &S = \sqrt{42 \cdot (42 - 17)(42 - 28)(42 - 39)} = {} \\ &= \sqrt{42 \cdot 25 \cdot 14 \cdot 3} = \sqrt{44\,100} = 210 \text{ (см}^2\text{)}. \end{aligned}\]

Радиус вписанной окружности: \(r = \frac{S}{p} = \frac{210}{42} = 5\) (см).

Прямая \(OO_1\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), поэтому \(OO_1 \perp O_1K\); точка \(K\) лежит на сфере, \(OK = R\). Из прямоугольного треугольника \(OO_1K\): \[\begin{aligned} &R = OK = \sqrt{OO_1^2 + O_1K^2} = {} \\ &= \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Ответ: 13 см.