Страница 134 номер 14.4, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В шар радиуса \(R\) вписана правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна \(a\). Найдите площадь боковой поверхности данной призмы.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — правильная призма
призма вписана в шар
\(R\) — радиус шара
\(AB = a\)
Найти: \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности призмы.
Решение: Правильная четырёхугольная призма — прямая призма, в основании которой лежит квадрат, то есть прямоугольный параллелепипед. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, пересекаются в одной точке \(O\) и делятся ею пополам; точка \(O\) равноудалена от всех вершин призмы и является центром шара. Диагональ \(AC_1\) проходит через центр шара, а её концы лежат на его поверхности, поэтому \(AC_1\) — диаметр шара: \(AC_1 = 2R\).
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: \(AC_1^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2\), где \(AD = AB = a\). Отсюда \[\begin{aligned} AA_1^2 &= AC_1^2 - 2a^2 = 4R^2 - 2a^2; \\ AA_1 &= \sqrt{4R^2 - 2a^2}. \end{aligned}\] Такая призма существует только при \(4R^2 - 2a^2 > 0\), то есть при \(a < R\sqrt{2}\).
\[S_{\text{бок}} = 4a \cdot AA_1 = 4a\sqrt{4R^2 - 2a^2}.\]
Ответ: \(4a\sqrt{4R^2 - 2a^2}\).
В шар радиуса \(R\) вписана правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна \(a\). Найдите площадь боковой поверхности данной призмы.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — правильная призма
призма вписана в шар
\(R\) — радиус шара
\(AB = a\)
Найти: \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности призмы.
Решение: Правильная четырёхугольная призма — прямая призма, в основании которой лежит квадрат, то есть прямоугольный параллелепипед. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, пересекаются в одной точке \(O\) и делятся ею пополам; точка \(O\) равноудалена от всех вершин призмы и является центром шара. Диагональ \(AC_1\) проходит через центр шара, а её концы лежат на его поверхности, поэтому \(AC_1\) — диаметр шара: \(AC_1 = 2R\).
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: \(AC_1^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2\), где \(AD = AB = a\). Отсюда \[\begin{aligned} AA_1^2 &= AC_1^2 - 2a^2 = 4R^2 - 2a^2; \\ AA_1 &= \sqrt{4R^2 - 2a^2}. \end{aligned}\] Такая призма существует только при \(4R^2 - 2a^2 > 0\), то есть при \(a < R\sqrt{2}\).
Боковые грани призмы — четыре равных прямоугольника со сторонами \(a\) и \(AA_1\): \[S_{\text{бок}} = 4a \cdot AA_1 = 4a\sqrt{4R^2 - 2a^2}.\]
Ответ: \(4a\sqrt{4R^2 - 2a^2}\).
