Страница 124 номер 13.21, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Через точку \(A(-12; 3; -4)\), принадлежащую сфере \(x^2 + y^2 + z^2 = 169\), проведена плоскость, перпендикулярная оси абсцисс. Найдите длину окружности, образовавшейся в сечении.
Сфера имеет центр \(O(0; 0; 0)\) и радиус \(R = 13\). Секущая плоскость перпендикулярна оси абсцисс, поэтому координатный вектор \(\vec{i}(1; 0; 0)\) — её вектор нормали. Уравнение плоскости с вектором нормали \(\vec{i}(1; 0; 0)\), проходящей через точку \(A(-12; 3; -4)\): \(1 \cdot (x + 12) + 0 \cdot (y - 3) + 0 \cdot (z + 4) = 0\), то есть \(x + 12 = 0\).
По формуле расстояния от точки до плоскости расстояние от центра \(O\) до этой плоскости
\[d = \frac{|1 \cdot 0 + 12|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = 12.\]
Так как \(d < R\), сечение сферы этой плоскостью — окружность радиуса \(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{169 - 144} = 5\). Её длина равна \(2\pi r = 2\pi \cdot 5 = 10\pi\).
Ответ: \(10\pi\).
Через точку \(A(-12; 3; -4)\), принадлежащую сфере \(x^2 + y^2 + z^2 = 169\), проведена плоскость, перпендикулярная оси абсцисс. Найдите длину окружности, образовавшейся в сечении.
Сфера \(x^2 + y^2 + z^2 = 169\) имеет центр \(O(0; 0; 0)\) и радиус \(R = 13\). Секущая плоскость перпендикулярна оси абсцисс, поэтому координатный вектор \(\vec{i}(1; 0; 0)\) — её вектор нормали. Уравнение плоскости с вектором нормали \(\vec{i}(1; 0; 0)\), проходящей через точку \(A(-12; 3; -4)\): \(1 \cdot (x + 12) + 0 \cdot (y - 3) + 0 \cdot (z + 4) = 0\), то есть \(x + 12 = 0\).
По формуле расстояния от точки до плоскости расстояние от центра \(O\) до этой плоскости
\[d = \frac{|1 \cdot 0 + 12|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = 12.\]
Так как \(d < R\), сечение сферы этой плоскостью — окружность радиуса \(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{169 - 144} = 5\). Её длина равна \(2\pi r = 2\pi \cdot 5 = 10\pi\).
Ответ: \(10\pi\).
