Страница 124 номер 13.18, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABC\) — треугольник, его вершины лежат на сфере с центром \(O\)
\(BC = 1\) см, \(AC = \sqrt{3}\) см, \(AB = 2\) см
\(d = 4\sqrt{3}\) см — расстояние от \(O\) до плоскости \(ABC\)

Найти: \(R\) — радиус сферы.

Решение: \(AC^2 + BC^2 = 3 + 1 = 4 = AB^2\), поэтому по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник \(ABC\) прямоугольный с гипотенузой \(AB\).

Плоскость \(ABC\) имеет со сферой три общие точки, поэтому \(d < R\) (при \(d > R\) общих точек нет, при \(d = R\) общая точка одна), и сечение сферы этой плоскостью — окружность с центром в основании \(O_1\) перпендикуляра \(OO_1\), опущенного на плоскость, и радиусом \(\sqrt{R^2 - d^2}\). Вершины треугольника лежат на этой окружности, то есть она описана около треугольника \(ABC\). Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, поэтому \(O_1\) — середина \(AB\) и \(O_1A = \frac{AB}{2} = 1\) см.

Прямая \(OO_1\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), поэтому треугольник \(OO_1A\) прямоугольный, его гипотенуза \(OA\) — радиус сферы:

\[OA = \sqrt{OO_1^2 + O_1A^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{49} = 7 \text{ (см)}.\]

Ответ: 7 см.