Страница 125 номер 13.30, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) и \(F\) принадлежат сфере. Докажите, что прямые, перпендикулярные плоскостям \(ABC\) и \(DEF\) и проходящие через центры описанных окружностей треугольников \(ABC\) и \(DEF\), пересекаются или совпадают.
Пусть \(O\) — центр сферы, \(O_1\) и \(O_2\) — центры окружностей, описанных около треугольников \(ABC\) и \(DEF\), \(l_1\) и \(l_2\) — прямые, проходящие через \(O_1\) и \(O_2\) перпендикулярно плоскостям \(ABC\) и \(DEF\) соответственно.
Точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на сфере, поэтому \(OA = OB = OC\): центр сферы равноудалён от вершин треугольника \(ABC\). Геометрическим местом точек пространства, равноудалённых от вершин треугольника, является прямая, перпендикулярная плоскости треугольника и проходящая через центр его описанной окружности; для треугольника \(ABC\) это прямая \(l_1\). Значит, точка \(O\) лежит на прямой \(l_1\). Так же \(OD = OE = OF\), и точка \(O\) лежит на прямой \(l_2\).
Прямые \(l_1\) и \(l_2\) имеют общую точку \(O\), поэтому они пересекаются в этой точке или совпадают.
Ответ: прямые, перпендикулярные плоскостям \(ABC\) и \(DEF\) и проходящие через центры описанных окружностей треугольников \(ABC\) и \(DEF\), проходят через центр сферы и потому пересекаются или совпадают.
