Страница 126 номер 13.39, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
сфера с центром \(O\), \(OB = OC = 6\) см
\(AB\) и \(AC\) — касательные к сфере, \(B\) и \(C\) — точки касания
плоскости \(AOB\) и \(AOC\) перпендикулярны
\(AO = 9\) см

Найти: \(BC\).

Решение: Касательная к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания: \(OB \perp AB\), \(OC \perp AC\). Прямоугольные треугольники \(ABO\) и \(ACO\) равны (гипотенуза \(AO\) общая, катеты \(OB\) и \(OC\) равны), поэтому их высоты, проведённые из вершин \(B\) и \(C\) к гипотенузе \(AO\), равны и отсекают от неё равные отрезки, то есть имеют общее основание \(H\): \(BH = CH\). Из прямоугольного треугольника \(ABO\): \[\begin{aligned} AB &= \sqrt{AO^2 - OB^2} = \sqrt{81 - 36} = 3\sqrt{5} \text{ (см)}; \\ BH &= \frac{AB \cdot OB}{AO} = \frac{3\sqrt{5} \cdot 6}{9} = 2\sqrt{5} \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Отрезки \(BH\) и \(CH\) лежат в плоскостях \(AOB\) и \(AOC\) и перпендикулярны прямой \(AO\), по которой эти плоскости пересекаются, поэтому угол \(BHC\) — линейный угол двугранного угла между ними: \(\angle BHC = 90^\circ\). Из прямоугольного треугольника \(BHC\): \[BC = \sqrt{BH^2 + CH^2} = \sqrt{20 + 20} = 2\sqrt{10} \text{ (см)}.\]

Ответ: \(2\sqrt{10}\) см.