Страница 127 номер 13.56, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Отрезок \(BD\) — высота равнобедренного треугольника \(ABC\), проведённая к его основанию. Точка \(M\) — середина отрезка \(BD\). Прямая \(AM\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\). Найдите, в каком отношении точка \(K\) делит сторону \(BC\), считая от точки \(B\).
Дано:
\(\triangle ABC\), \(AB = BC\)
\(BD\) — высота
\(M\) — середина \(BD\)
\(K\) — точка пересечения прямой \(AM\) со стороной \(BC\)
Найти: \(BK : KC\).
Решение: Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является его медианой, поэтому \(AD = DC\). Проведём через точку \(D\) прямую, параллельную \(AK\); пусть она пересекает сторону \(BC\) в точке \(E\).
В треугольнике \(AKC\) прямая \(DE\) проходит через середину \(D\) стороны \(AC\) параллельно стороне \(AK\), поэтому по теореме Фалеса она пересекает сторону \(KC\) в её середине: \(E\) — середина \(KC\), \(KE = EC\). В треугольнике \(BDE\) прямая \(AK\) проходит через середину \(M\) стороны \(BD\) параллельно стороне \(DE\), поэтому по теореме Фалеса она пересекает сторону \(BE\) в её середине; эта точка — \(K\), то есть \(BK = KE\). Значит, \(BK = KE = EC\), \(KC = 2BK\) и \(BK : KC = 1 : 2\).
Ответ: \(BK : KC = 1 : 2\).
