Страница 127 номер 13.52, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что существует сфера, проходящая через начало координат и не содержащая других точек, все координаты которых являются рациональными числами.
Рассмотрим сферу \((x - \sqrt{2})^2 + (y - \sqrt{2})^2 + (z - \sqrt{2})^2 = 6\) с центром \((\sqrt{2}; \sqrt{2}; \sqrt{2})\) и радиусом \(\sqrt{6}\). Начало координат ей принадлежит: \((0 - \sqrt{2})^2 + (0 - \sqrt{2})^2 + (0 - \sqrt{2})^2 = 2 + 2 + 2 = 6\).
Пусть \((x; y; z)\) — точка этой сферы, все координаты которой рациональны. Раскроем скобки в уравнении сферы:
\[\begin{aligned} x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 + y^2 - 2\sqrt{2}y + 2 + z^2 - 2\sqrt{2}z + 2 &= 6; \\ x^2 + y^2 + z^2 &= 2\sqrt{2}(x + y + z). \end{aligned}\]
Если \(x + y + z \ne 0\), то \(\sqrt{2} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{2(x + y + z)}\) — частное рациональных чисел, то есть рациональное число, а число \(\sqrt{2}\) иррационально. Значит, \(x + y + z = 0\); тогда \(x^2 + y^2 + z^2 = 0\), откуда \(x = y = z = 0\). Следовательно, начало координат — единственная точка этой сферы, все координаты которой рациональны.
Ответ: сфера \((x - \sqrt{2})^2 + (y - \sqrt{2})^2 + (z - \sqrt{2})^2 = 6\) проходит через начало координат и не содержит других точек, все координаты которых рациональны.
