Страница 125 номер 13.35, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Две сферы, радиусы которых равны \(R\) и \(r\), касаются внешним образом. Прямая \(a\) касается этих сфер в точках \(A\) и \(B\). Докажите, что \(AB = 2\sqrt{Rr}\).
При произвольной прямой \(a\) утверждение задачи неверно — покажем это.
Пусть \(R = r = 1\), центры сфер — точки \(O_1(-1; 0; 0)\) и \(O_2(1; 0; 0)\). Тогда \(O_1O_2 = 2 = R + r\). Для любой точки \(X\), общей для двух шаров, \(O_1X \leqslant 1\), \(O_2X \leqslant 1\) и \(O_1X + O_2X \geqslant O_1O_2 = 2\), поэтому \(O_1X = O_2X = 1\) и точка \(X\) лежит на отрезке \(O_1O_2\), то есть \(X\) — начало координат. Значит, шары имеют единственную общую точку \((0; 0; 0)\), и она лежит на обеих сферах: сферы касаются в ней внешним образом.
Возьмём точки \(A\left(-\frac{1}{4}; -\frac{\sqrt{3}}{4}; -\frac{1}{2}\right)\) и \(B\left(\frac{1}{4}; \frac{\sqrt{3}}{4}; -\frac{1}{2}\right)\). Тогда \(\overrightarrow{O_1A}\left(\frac{3}{4}; -\frac{\sqrt{3}}{4}; -\frac{1}{2}\right)\), \(\overrightarrow{O_2B}\left(-\frac{3}{4}; \frac{\sqrt{3}}{4}; -\frac{1}{2}\right)\), \(\overrightarrow{AB}\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0\right)\) и \[\begin{aligned} O_1A &= \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{3}{16} + \frac{1}{4}} = 1; \\ O_2B &= \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{3}{16} + \frac{1}{4}} = 1; \\ AB &= \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1; \\ \overrightarrow{O_1A} \cdot \overrightarrow{AB} &= \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 = 0; \\ \overrightarrow{O_2B} \cdot \overrightarrow{AB} &= -\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 = 0. \end{aligned}\]
Значит, точка \(A\) лежит на первой сфере, точка \(B\) — на второй, \(O_1A \perp AB\) и \(O_2B \perp AB\). Плоскость, проходящая через точку \(A\) перпендикулярно радиусу \(O_1A\), касается первой сферы: если плоскость, проходящая через конец радиуса, отличного от центра сферы, перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной плоскостью к сфере. Прямая \(AB\) проходит через \(A\) перпендикулярно \(O_1A\), поэтому лежит в этой плоскости и касается первой сферы в точке \(A\). Так же прямая \(AB\) касается второй сферы в точке \(B\). При этом \(AB = 1\), а \(2\sqrt{Rr} = 2\), то есть \(AB \neq 2\sqrt{Rr}\).
В общем случае пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры сфер радиусов \(R\) и \(r\); по условию точки касания \(A\) и \(B\) различны. Сферы касаются внешним образом, поэтому их центры и точка касания лежат на одной прямой, причём точка касания — между центрами, и \(O_1O_2 = R + r\). Обозначим \(\vec{m} = \overrightarrow{O_1A}\), \(\vec{n} = \overrightarrow{O_2B}\): \(|\vec{m}| = R\), \(|\vec{n}| = r\). Касательная к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому \(\vec{m} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\) и \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\). Так как \(\overrightarrow{O_1O_2} = \vec{m} + \overrightarrow{AB} - \vec{n}\), то \[\begin{aligned} &O_1O_2^2 = \left(\overrightarrow{AB} + (\vec{m} - \vec{n})\right)^2 = {} \\ &= AB^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \vec{m} - 2\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} + |\vec{m} - \vec{n}|^2 = {} \\ &= AB^2 + |\vec{m} - \vec{n}|^2. \end{aligned}\]
Пусть \(\varphi\) — угол между векторами \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\). Тогда \[\begin{aligned} &|\vec{m} - \vec{n}|^2 = R^2 - 2\vec{m} \cdot \vec{n} + r^2 = {} \\ &= R^2 + r^2 - 2Rr\cos\varphi \geqslant R^2 + r^2 - 2Rr = (R - r)^2. \end{aligned}\]
Равенство здесь выполняется тогда и только тогда, когда \(\cos\varphi = 1\), то есть \(\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}\). Значит, \(AB^2 = (R + r)^2 - |\vec{m} - \vec{n}|^2 \leqslant (R + r)^2 - (R - r)^2 = 4Rr\), то есть \(AB \leqslant 2\sqrt{Rr}\), и \(AB = 2\sqrt{Rr}\) тогда и только тогда, когда \(\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}\).
Если прямая \(a\) лежит в одной плоскости с центрами сфер, то в этой плоскости прямые \(O_1A\) и \(O_2B\) перпендикулярны прямой \(a\) и проходят через различные точки \(A\) и \(B\), поэтому параллельны, и векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) сонаправлены или противоположно направлены. Противоположно направленными они быть не могут: тогда \(|\vec{m} - \vec{n}| = R + r\) и \(AB^2 = (R + r)^2 - (R + r)^2 = 0\), а точки касания \(A\) и \(B\) различны. Значит, \(\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}\), четырёхугольник \(O_1ABO_2\) — прямоугольная трапеция (при \(R = r\) — прямоугольник) и \(AB = 2\sqrt{Rr}\).
Если же прямая \(a\) не лежит в одной плоскости с центрами сфер, то векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) не сонаправлены. Иначе прямые \(O_1A\) и \(O_2B\) были бы параллельны (совпасть они не могут: прямая \(AB\) перпендикулярна прямой \(O_1A\), а точки \(A\) и \(B\) различны) и через них проходила бы плоскость, содержащая точки \(O_1\), \(O_2\) и прямую \(AB\), а по предположению прямая \(a\) не лежит в одной плоскости с центрами сфер. Значит, в этом случае \(AB < 2\sqrt{Rr}\).
Ответ: \(AB = 2\sqrt{Rr}\), если прямая \(a\) лежит в одной плоскости с центрами сфер; иначе \(AB < 2\sqrt{Rr}\).
Две сферы, радиусы которых равны \(R\) и \(r\), касаются внешним образом. Прямая \(a\) касается этих сфер в точках \(A\) и \(B\). Докажите, что \(AB = 2\sqrt{Rr}\).
При произвольной прямой \(a\) утверждение задачи неверно — покажем это.
Пусть \(R = r = 1\), центры сфер — точки \(O_1(-1; 0; 0)\) и \(O_2(1; 0; 0)\). Тогда \(O_1O_2 = 2 = R + r\). Для любой точки \(X\), общей для двух шаров, \(O_1X \leqslant 1\), \(O_2X \leqslant 1\) и \(O_1X + O_2X \geqslant O_1O_2 = 2\), поэтому \(O_1X = O_2X = 1\) и точка \(X\) лежит на отрезке \(O_1O_2\), то есть \(X\) — начало координат. Значит, шары имеют единственную общую точку \((0; 0; 0)\), и она лежит на обеих сферах: сферы касаются в ней внешним образом.
Возьмём точки \(A\left(-\frac{1}{4}; -\frac{\sqrt{3}}{4}; -\frac{1}{2}\right)\) и \(B\left(\frac{1}{4}; \frac{\sqrt{3}}{4}; -\frac{1}{2}\right)\). Тогда \(\overrightarrow{O_1A}\left(\frac{3}{4}; -\frac{\sqrt{3}}{4}; -\frac{1}{2}\right)\), \(\overrightarrow{O_2B}\left(-\frac{3}{4}; \frac{\sqrt{3}}{4}; -\frac{1}{2}\right)\), \(\overrightarrow{AB}\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0\right)\) и \[\begin{aligned} O_1A &= \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{3}{16} + \frac{1}{4}} = 1; \\ O_2B &= \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{3}{16} + \frac{1}{4}} = 1; \\ AB &= \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1; \\ \overrightarrow{O_1A} \cdot \overrightarrow{AB} &= \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 = 0; \\ \overrightarrow{O_2B} \cdot \overrightarrow{AB} &= -\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 = 0. \end{aligned}\]
Значит, точка \(A\) лежит на первой сфере, точка \(B\) — на второй, \(O_1A \perp AB\) и \(O_2B \perp AB\). Плоскость, проходящая через точку \(A\) перпендикулярно радиусу \(O_1A\), касается первой сферы: если плоскость, проходящая через конец радиуса, отличного от центра сферы, перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной плоскостью к сфере. Прямая \(AB\) проходит через \(A\) перпендикулярно \(O_1A\), поэтому лежит в этой плоскости и касается первой сферы в точке \(A\). Так же прямая \(AB\) касается второй сферы в точке \(B\). При этом \(AB = 1\), а \(2\sqrt{Rr} = 2\), то есть \(AB \neq 2\sqrt{Rr}\).
Докажем, что всегда \(AB \leqslant 2\sqrt{Rr}\), причём \(AB = 2\sqrt{Rr}\) тогда и только тогда, когда прямая \(a\) лежит в одной плоскости с центрами сфер.
В общем случае пусть \(O_1\) и \(O_2\) — центры сфер радиусов \(R\) и \(r\); по условию точки касания \(A\) и \(B\) различны. Сферы касаются внешним образом, поэтому их центры и точка касания лежат на одной прямой, причём точка касания — между центрами, и \(O_1O_2 = R + r\). Обозначим \(\vec{m} = \overrightarrow{O_1A}\), \(\vec{n} = \overrightarrow{O_2B}\): \(|\vec{m}| = R\), \(|\vec{n}| = r\). Касательная к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому \(\vec{m} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\) и \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\). Так как \(\overrightarrow{O_1O_2} = \vec{m} + \overrightarrow{AB} - \vec{n}\), то \[\begin{aligned} &O_1O_2^2 = \left(\overrightarrow{AB} + (\vec{m} - \vec{n})\right)^2 = {} \\ &= AB^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \vec{m} - 2\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} + |\vec{m} - \vec{n}|^2 = {} \\ &= AB^2 + |\vec{m} - \vec{n}|^2. \end{aligned}\]
Пусть \(\varphi\) — угол между векторами \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\). Тогда \[\begin{aligned} &|\vec{m} - \vec{n}|^2 = R^2 - 2\vec{m} \cdot \vec{n} + r^2 = {} \\ &= R^2 + r^2 - 2Rr\cos\varphi \geqslant R^2 + r^2 - 2Rr = (R - r)^2. \end{aligned}\]
Равенство здесь выполняется тогда и только тогда, когда \(\cos\varphi = 1\), то есть \(\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}\). Значит, \(AB^2 = (R + r)^2 - |\vec{m} - \vec{n}|^2 \leqslant (R + r)^2 - (R - r)^2 = 4Rr\), то есть \(AB \leqslant 2\sqrt{Rr}\), и \(AB = 2\sqrt{Rr}\) тогда и только тогда, когда \(\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}\).
Если прямая \(a\) лежит в одной плоскости с центрами сфер, то в этой плоскости прямые \(O_1A\) и \(O_2B\) перпендикулярны прямой \(a\) и проходят через различные точки \(A\) и \(B\), поэтому параллельны, и векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) сонаправлены или противоположно направлены. Противоположно направленными они быть не могут: тогда \(|\vec{m} - \vec{n}| = R + r\) и \(AB^2 = (R + r)^2 - (R + r)^2 = 0\), а точки касания \(A\) и \(B\) различны. Значит, \(\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}\), четырёхугольник \(O_1ABO_2\) — прямоугольная трапеция (при \(R = r\) — прямоугольник) и \(AB = 2\sqrt{Rr}\).
Если же прямая \(a\) не лежит в одной плоскости с центрами сфер, то векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) не сонаправлены. Иначе прямые \(O_1A\) и \(O_2B\) были бы параллельны (совпасть они не могут: прямая \(AB\) перпендикулярна прямой \(O_1A\), а точки \(A\) и \(B\) различны) и через них проходила бы плоскость, содержащая точки \(O_1\), \(O_2\) и прямую \(AB\), а по предположению прямая \(a\) не лежит в одной плоскости с центрами сфер. Значит, в этом случае \(AB < 2\sqrt{Rr}\).
Ответ: \(AB = 2\sqrt{Rr}\), если прямая \(a\) лежит в одной плоскости с центрами сфер; иначе \(AB < 2\sqrt{Rr}\).
