Страница 125 номер 13.32, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(A\) — точка, через которую проведены касательные к сфере
\(AM = 40\) см — расстояние от \(A\) до точек касания (\(M\) — одна из них)
\(AB = 20\) см — расстояние от \(A\) до ближайшей к ней точки \(B\) сферы

Найти: длину линии, которая является геометрическим местом точек касания.

Решение: Пусть \(O\) — центр сферы, \(R\) — её радиус. Через точку, лежащую внутри шара, касательную провести нельзя, а на сфере точка \(A\) не лежит (\(AB = 20\) см), поэтому точка \(A\) лежит вне шара: \(OA > R\). Для любой точки \(X\) сферы \(OX + XA \geqslant OA\), откуда \(XA \geqslant OA - R\), причём равенство достигается только в точке сферы, лежащей на отрезке \(OA\). Значит, ближайшая к \(A\) точка \(B\) сферы лежит на отрезке \(OA\) и \(OA - R = AB = 20\) см, \(OA = R + 20\).

Точки касания касательных, проведённых к сфере через точку \(A\), лежащую вне шара, образуют окружность: её плоскость перпендикулярна прямой \(OA\), центр — основание \(H\) перпендикуляра, опущенного из любой точки касания \(M\) на прямую \(OA\), а радиус равен \(MH\). Искомая длина — длина этой окружности.

Касательная к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому треугольник \(OMA\) прямоугольный с прямым углом \(M\): \[\begin{aligned} OA^2 &= OM^2 + AM^2; \\ (R + 20)^2 &= R^2 + 40^2; \\ R^2 + 40R + 400 &= R^2 + 1600; \\ 40R &= 1200; \qquad | : 40 \\ R &= 30 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Значит, \(OM = 30\) см, \(OA = 30 + 20 = 50\) (см).

В прямоугольном треугольнике \(OMA\) отрезок \(MH\) — высота, проведённая к гипотенузе: \[MH = \frac{OM \cdot AM}{OA} = \frac{30 \cdot 40}{50} = 24 \text{ (см)}.\]

Длина окружности радиуса \(MH\): \(2\pi \cdot MH = 2\pi \cdot 24 = 48\pi\) (см).

Ответ: \(48\pi\) см.