Страница 124 номер 13.16, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — прямоугольник, его вершины лежат на сфере с центром \(O\)
\(R = 26\) см — радиус сферы
\(AB = 12\) см, \(BC = 16\) см

Найти: \(d\) — расстояние от \(O\) до плоскости \(ABCD\).

Решение: Плоскость \(ABCD\) имеет со сферой больше одной общей точки, поэтому \(d < R\): при \(d > R\) сфера и плоскость не имеют общих точек, а при \(d = R\) имеют только одну общую точку. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса, то сечением сферы плоскостью является окружность; её центр — основание \(O_1\) перпендикуляра \(OO_1\), опущенного из центра на плоскость, а радиус равен \(\sqrt{R^2 - d^2}\). Вершины прямоугольника лежат и на сфере, и в плоскости \(ABCD\), то есть на этой окружности, — она описана около прямоугольника.

Центр окружности, описанной около прямоугольника, — точка пересечения его диагоналей, а радиус равен половине диагонали. Из прямоугольного треугольника \(ABC\)

\[\begin{aligned} AC &= \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{400} = 20 \text{ (см)}; \\ O_1A &= \frac{AC}{2} = 10 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Прямая \(OO_1\) перпендикулярна плоскости \(ABCD\), поэтому треугольник \(OO_1A\) прямоугольный с гипотенузой \(OA = R\), а \(d = OO_1\):

\[OO_1 = \sqrt{OA^2 - O_1A^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{576} = 24 \text{ (см)}.\]

Ответ: 24 см.