Страница 100 номер 10.2, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной его высоте, равна \(12\pi\) см\(^2\). В каком отношении плоскость сечения делит высоту конуса, считая от его вершины, если радиус основания равен \(3\sqrt{3}\) см?
Дано:
\(K\) — вершина конуса, \(O\) — центр основания
\(r = 3\sqrt{3}\) см
секущая плоскость перпендикулярна высоте \(KO\) и пересекает её в точке \(O_1\)
площадь сечения равна \(12\pi\) см\(^2\)
Найти: \(KO_1 : O_1O\).
Решение: Пусть \(A\) — точка окружности основания (\(OA = r\)), \(A_1\) — точка, в которой образующая \(KA\) пересекает секущую плоскость.
Прямая \(KO\) перпендикулярна секущей плоскости (по условию) и плоскости основания (как ось конуса), поэтому треугольники \(KO_1A_1\) и \(KOA\) прямоугольные (\(\angle KO_1A_1 = \angle KOA = 90^\circ\)) и имеют общий острый угол \(AKO\), следовательно, они подобны: \(\frac{O_1A_1}{OA} = \frac{KO_1}{KO}\). Точка \(A\) выбрана на окружности основания произвольно, поэтому все точки окружности сечения удалены от \(O_1\) на одно и то же расстояние \(O_1A_1\): сечение — круг с центром \(O_1\) и радиусом \(O_1A_1\).
По условию площадь сечения \(\pi \cdot O_1A_1^2 = 12\pi\) (см\(^2\)), откуда \(O_1A_1^2 = 12\) и \(O_1A_1 = 2\sqrt{3}\) см.
Тогда \(\frac{KO_1}{KO} = \frac{O_1A_1}{OA} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3}\). Значит, \(KO_1 : O_1O = 2 : 1\).
Ответ: плоскость сечения делит высоту конуса в отношении \(2 : 1\), считая от вершины.
Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной его высоте, равна \(12\pi\) см\(^2\). В каком отношении плоскость сечения делит высоту конуса, считая от его вершины, если радиус основания равен \(3\sqrt{3}\) см?
Дано:
\(K\) — вершина конуса, \(O\) — центр основания
\(r = 3\sqrt{3}\) см
секущая плоскость перпендикулярна высоте \(KO\) и пересекает её в точке \(O_1\)
площадь сечения равна \(12\pi\) см\(^2\)
Найти: \(KO_1 : O_1O\).
Решение: Пусть \(A\) — точка окружности основания (\(OA = r\)), \(A_1\) — точка, в которой образующая \(KA\) пересекает секущую плоскость.
Прямая \(KO\) перпендикулярна секущей плоскости (по условию) и плоскости основания (как ось конуса), поэтому треугольники \(KO_1A_1\) и \(KOA\) прямоугольные (\(\angle KO_1A_1 = \angle KOA = 90^\circ\)) и имеют общий острый угол \(AKO\), следовательно, они подобны: \(\frac{O_1A_1}{OA} = \frac{KO_1}{KO}\). Точка \(A\) выбрана на окружности основания произвольно, поэтому все точки окружности сечения удалены от \(O_1\) на одно и то же расстояние \(O_1A_1\): сечение — круг с центром \(O_1\) и радиусом \(O_1A_1\).
По условию площадь сечения \(\pi \cdot O_1A_1^2 = 12\pi\) (см\(^2\)), откуда \(O_1A_1^2 = 12\) и \(O_1A_1 = 2\sqrt{3}\) см.
Тогда \(\frac{KO_1}{KO} = \frac{O_1A_1}{OA} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3}\), то есть \(KO_1 = \frac{2}{3}KO\) и \(O_1O = KO - KO_1 = \frac{1}{3}KO\). Значит, \(KO_1 : O_1O = 2 : 1\).
Ответ: плоскость сечения делит высоту конуса в отношении \(2 : 1\), считая от вершины.
