Страница 94 номер 9.33, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
конус с вершиной \(S\)
\(AB\), \(BC\) — хорды основания, \(AB = BC = 20\) см, \(\cos\angle ABC = \frac{1}{4}\)
\(SC = 30\) см

Найти: угол между прямыми \(AB\) и \(SC\).

Решение: Пусть \(O\) — центр основания, \(P\) — середина хорды \(AB\), \(C'\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(C\) на прямую \(AB\). Угол \(ABC\) острый (\(\cos\angle ABC > 0\)), поэтому точка \(C'\) лежит на луче \(BA\) и \(BC' = BC\cos\angle ABC = 20 \cdot \frac{1}{4} = 5\) (см). Так как \(BP = 10\) см, то \(C'P = 10 - 5 = 5\) (см).

Серединный перпендикуляр \(m\) к хорде \(AB\) проходит через центр \(O\), поэтому окружность основания симметрична относительно прямой \(m\). Прямые \(CC'\) и \(m\) перпендикулярны \(AB\), значит, параллельны, и точка \(C\) удалена от прямой \(m\) на \(C'P = 5\) см. Проведём через точку \(C\) прямую, параллельную \(AB\); она перпендикулярна \(m\) и при симметрии относительно \(m\) переходит в себя. Поэтому она пересекает окружность основания ещё в точке \(D\), симметричной точке \(C\) относительно \(m\), и \(CD = 2 \cdot 5 = 10\) (см).

Поскольку \(AB \parallel CD\), угол между прямыми \(AB\) и \(SC\) равен углу между прямыми \(CD\) и \(SC\). В треугольнике \(SCD\) стороны \(SC\) и \(SD\) — образующие конуса: \(SC = SD = 30\) см. Пусть \(N\) — середина \(CD\); медиана \(SN\) равнобедренного треугольника \(SCD\) является его высотой.

Из прямоугольного треугольника \(SNC\): \(\cos\angle SCD = \frac{CN}{SC} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}\). Угол \(SCD\) острый, поэтому он и равен углу между прямыми \(CD\) и \(SC\), то есть искомому углу: \(\angle SCD = \arccos\frac{1}{6}\).

Ответ: \(\arccos\frac{1}{6}\).