Страница 94 номер 9.32, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(BC \parallel AD\)
\(AB = BC = CD = a\), \(AD = 2a\)
\(EF\) — средняя линия
ось вращения — прямая \(EF\)

Найти: площадь поверхности тела вращения.

Решение: Трапеция \(ABCD\) равнобокая (\(AB = CD\)). Проведём её высоты \(BB_1\) и \(CC_1\). В равнобокой трапеции \(AB_1 = C_1D = \frac{AD - BC}{2} = \frac{a}{2}\), точки \(B_1\) и \(C_1\) лежат на основании \(AD\) (углы при большем основании равнобокой трапеции острые), и из прямоугольного треугольника \(ABB_1\): \(BB_1 = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Средняя линия \(EF\) параллельна основаниям, поэтому \(BB_1 \perp EF\) и \(CC_1 \perp EF\), и по теореме Фалеса прямая \(EF\) делит отрезки \(BB_1\) и \(CC_1\) пополам. Значит, точки \(B\), \(C\), \(B_1\), \(C_1\), а также все точки прямой \(AD\) удалены от прямой \(EF\) на \(\frac{a\sqrt{3}}{4}\).

Прямая \(EF\) делит трапецию \(ABCD\) на трапеции \(EBCF\) и \(AEFD\). При повороте на \(180^\circ\) вокруг прямой \(EF\) точки \(E\) и \(F\) остаются на месте, а точки \(B\) и \(C\) переходят в точки \(B_1\) и \(C_1\): отрезки \(BB_1\) и \(CC_1\) перпендикулярны \(EF\) и делятся ею пополам. Значит, трапеция \(EBCF\) переходит в трапецию \(EB_1C_1F\), а она лежит в трапеции \(AEFD\): эта трапеция — выпуклый четырёхугольник, и вершины \(E\), \(B_1\), \(C_1\), \(F\) ей принадлежат. При вращении вокруг \(EF\) трапеции \(EBCF\) и \(EB_1C_1F\) описывают одно и то же тело, поэтому тело вращения трапеции \(ABCD\) совпадает с телом вращения трапеции \(AEFD\).

Сторона \(EF\) трапеции \(AEFD\) лежит на оси, поэтому поверхность тела образуют её стороны \(AD\), \(EA\) и \(FD\). Отрезок \(AD\) параллелен оси и удалён от неё на \(\frac{a\sqrt{3}}{4}\), он описывает боковую поверхность цилиндра с радиусом основания \(\frac{a\sqrt{3}}{4}\) и образующей \(AD = 2a\). Отрезки \(EA\) и \(FD\), у которых один конец лежит на оси, а другой удалён от неё на \(\frac{a\sqrt{3}}{4}\), описывают боковые поверхности конусов с вершинами \(E\) и \(F\), радиусом основания \(\frac{a\sqrt{3}}{4}\) и образующими \(EA = FD = \frac{a}{2}\). Тело — цилиндр с двумя коническими выемками.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(2\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot 2a = \pi a^2\sqrt{3}\), площадь боковой поверхности каждого из конусов — \(\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a}{2} = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{8}\). Поверхность полученного тела состоит из боковой поверхности цилиндра и боковых поверхностей двух конусов, поэтому её площадь равна сумме площадей этих частей: \(\pi a^2\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{8} = \frac{5}{4}\pi a^2\sqrt{3}\).

Ответ: \(\frac{5}{4}\pi a^2\sqrt{3}\).