Страница 94 номер 9.24, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
круг радиуса \(R\)
сектор с дугой \(90^\circ\) (четверть круга) — развёртка боковой поверхности первого конуса
оставшаяся часть круга — развёртка боковой поверхности второго конуса

Найти: \(\frac{h_1}{h_2}\) — отношение высоты первого конуса к высоте второго.

Решение: Оставшаяся часть круга — сектор с дугой \(360^\circ - 90^\circ = 270^\circ\). Радиус сектора — развёртки боковой поверхности конуса — равен образующей конуса, а радиус каждого из двух секторов равен \(R\), поэтому образующие обоих конусов равны \(R\).

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса: \(2\pi r = \frac{\pi R\alpha}{180}\), где \(\alpha\) — градусная мера дуги сектора, откуда \(r = \frac{R\alpha}{360}\). Для первого конуса \(r_1 = \frac{90R}{360} = \frac{R}{4}\), для второго \(r_2 = \frac{270R}{360} = \frac{3R}{4}\).

Высота, радиус основания и образующая конуса — стороны прямоугольного треугольника с прямым углом при центре основания (ось конуса перпендикулярна плоскости основания), поэтому по теореме Пифагора

\[\begin{aligned} h_1 &= \sqrt{R^2 - r_1^2} = \sqrt{R^2 - \frac{R^2}{16}} = \frac{R\sqrt{15}}{4}; \\ h_2 &= \sqrt{R^2 - r_2^2} = \sqrt{R^2 - \frac{9R^2}{16}} = \frac{R\sqrt{7}}{4}; \\ \frac{h_1}{h_2} &= \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{105}}{7}. \end{aligned}\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{105}}{7}\).