Страница 94 номер 9.31, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
треугольник \(ABC\), \(AB = 15\) см, \(AC = 14\) см, \(BC = 13\) см
\(MK\) — средняя линия, \(MK \parallel AC\)
ось вращения — прямая \(MK\)

Найти: площадь поверхности тела вращения.

Решение: Проведём высоту \(BH\) треугольника \(ABC\). Его полупериметр \(p = \frac{15 + 14 + 13}{2} = 21\) (см), и по формуле Герона площадь \(S = \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} = 84\) (см\(^2\)). Тогда \(BH = \frac{2S}{AC} = \frac{168}{14} = 12\) (см). Из прямоугольных треугольников \(ABH\) и \(CBH\): \(AH = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9\) (см), \(HC = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5\) (см). Так как \(AH + HC = 14 = AC\), точка \(H\) лежит на отрезке \(AC\).

Средняя линия \(MK\) параллельна \(AC\), поэтому \(BH \perp MK\), и по теореме Фалеса прямая \(MK\) делит отрезок \(BH\) пополам. Значит, точки \(B\) и \(H\), а также все точки прямой \(AC\) удалены от прямой \(MK\) на \(6\) см.

Прямая \(MK\) делит треугольник \(ABC\) на треугольник \(MBK\) и трапецию \(AMKC\). При повороте на \(180^\circ\) вокруг прямой \(MK\) точки \(M\) и \(K\) остаются на месте, а точка \(B\) переходит в точку \(H\): отрезок \(BH\) перпендикулярен \(MK\) и делится ею пополам. Значит, треугольник \(MBK\) переходит в треугольник \(MHK\), а он лежит в трапеции \(AMKC\): трапеция — выпуклый четырёхугольник, и вершины \(M\), \(H\), \(K\) ей принадлежат. При вращении вокруг \(MK\) треугольники \(MBK\) и \(MHK\) описывают одно и то же тело, поэтому тело вращения треугольника \(ABC\) совпадает с телом вращения трапеции \(AMKC\).

Сторона \(MK\) трапеции лежит на оси, поэтому поверхность тела образуют её стороны \(AC\), \(MA\) и \(KC\). Отрезок \(AC\) параллелен оси и удалён от неё на 6 см, он описывает боковую поверхность цилиндра с радиусом основания 6 см и образующей \(AC = 14\) см. Отрезки \(MA\) и \(KC\), у которых один конец лежит на оси, а другой удалён от неё на 6 см, описывают боковые поверхности конусов с вершинами \(M\) и \(K\), радиусом основания 6 см и образующими \(MA = \frac{AB}{2} = 7{,}5\) см и \(KC = \frac{BC}{2} = 6{,}5\) см. Тело — цилиндр с двумя коническими выемками.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(2\pi \cdot 6 \cdot 14 = 168\pi\) (см\(^2\)), площади боковых поверхностей конусов — \(\pi \cdot 6 \cdot 7{,}5 = 45\pi\) (см\(^2\)) и \(\pi \cdot 6 \cdot 6{,}5 = 39\pi\) (см\(^2\)). Поверхность полученного тела состоит из боковой поверхности цилиндра и боковых поверхностей двух конусов, поэтому её площадь равна сумме площадей этих частей: \(168\pi + 45\pi + 39\pi = 252\pi\) (см\(^2\)).

Ответ: \(252\pi\) см\(^2\).