Страница 100 номер 10.11, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(O\) и \(O_1\) — центры большего и меньшего оснований усечённого конуса
\(\pi r^2 = 16\) см\(^2\) — площадь большего основания
\(\pi r_1^2 = 4\) см\(^2\) — площадь меньшего основания
\(O_2\) — середина высоты \(OO_1\)
секущая плоскость проходит через \(O_2\) параллельно основаниям

Найти: площадь сечения.

Решение: Пусть \(A\) — точка окружности большего основания. Плоскость, проходящая через ось \(OO_1\) и точку \(A\), пересекает усечённый конус по осевому сечению — равнобокой трапеции, одна из боковых сторон которой \(AA_1\) — образующая усечённого конуса (\(A_1\) — на окружности меньшего основания). Пусть \(A_2\) — точка, в которой образующая \(AA_1\) пересекает секущую плоскость; \(OA = r\), \(O_1A_1 = r_1\).

Ось \(OO_1\) перпендикулярна плоскостям оснований, а значит, и параллельной им секущей плоскости. Поэтому лежащие в плоскости осевого сечения отрезки \(OA\), \(O_2A_2\) и \(O_1A_1\) перпендикулярны \(OO_1\), следовательно, параллельны между собой, и \(OAA_1O_1\) — прямоугольная трапеция. Параллельные прямые \(OA\), \(O_2A_2\), \(O_1A_1\) отсекают на прямой \(OO_1\) равные отрезки \(OO_2\) и \(O_2O_1\), поэтому по теореме Фалеса \(AA_2 = A_2A_1\), и \(O_2A_2\) — средняя линия трапеции: \(O_2A_2 = \frac{r + r_1}{2}\). Точка \(A\) выбрана на окружности большего основания произвольно, поэтому сечение — круг с центром \(O_2\) и радиусом \(\frac{r + r_1}{2}\).

Из \(\pi r^2 = 16\) и \(\pi r_1^2 = 4\) получаем \(r^2 = 4r_1^2\), то есть \(r = 2r_1\). Тогда \(O_2A_2 = \frac{2r_1 + r_1}{2} = \frac{3}{2}r_1\), и площадь сечения равна \(\pi \cdot \left(\frac{3}{2}r_1\right)^2 = \frac{9}{4}\pi r_1^2 = \frac{9}{4} \cdot 4 = 9\) (см\(^2\)).

Ответ: 9 см\(^2\).