Страница 93 номер 9.17, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямоугольная трапеция с основаниями 6 см и 9 см и высотой 4 см вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Дано:
\(ABCD\) — прямоугольная трапеция, \(AD \parallel BC\), \(AB \perp AD\)
\(AD = 9\) см, \(BC = 6\) см, \(AB = 4\) см
ось вращения — прямая \(AD\)
Найти: \(S\) — площадь поверхности тела вращения.
Решение: Проведём \(CH \perp AD\). Четырёхугольник \(ABCH\) — прямоугольник (его стороны \(AB\) и \(HC\) перпендикулярны \(AD\), а \(BC \parallel AD\)), поэтому \(AH = BC = 6\) см и \(CH = AB = 4\) см. Так как \(AH < AD\), точка \(H\) лежит между точками \(A\) и \(D\) и \(HD = AD - AH = 9 - 6 = 3\) (см).
При вращении вокруг прямой \(AD\) прямоугольник \(ABCH\) (прямая \(AD\) содержит его сторону \(AH\)) образует цилиндр с радиусом основания \(AB = 4\) см и высотой \(AH = 6\) см: при вращении стороны \(AB\) образуется его основание — круг с центром \(A\), при вращении стороны \(BC\) — боковая поверхность. Прямоугольный треугольник \(CHD\) (прямая \(AD\) содержит его катет \(HD\)) образует конус с вершиной \(D\), радиусом основания \(HC = 4\) см и образующей \(CD\); основание конуса совпадает с другим основанием цилиндра — кругом с центром \(H\).
Поверхность полученного тела состоит из основания цилиндра с центром \(A\), боковой поверхности цилиндра и боковой поверхности конуса.
Из прямоугольного треугольника \(CHD\): \(CD = \sqrt{CH^2 + HD^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\) (см). По формулам \(S_{\text{осн}} = \pi r^2\), \(S_{\text{бок}} = 2\pi rh\) (цилиндр) и \(S_{\text{бок}} = \pi rl\) (конус):
\[\begin{aligned} &S = \pi \cdot 4^2 + 2\pi \cdot 4 \cdot 6 + \pi \cdot 4 \cdot 5 = {} \\ &= 16\pi + 48\pi + 20\pi = 84\pi\ (\text{см}^2). \end{aligned}\]
Ответ: \(84\pi\) см\(^2\).
Прямоугольная трапеция с основаниями 6 см и 9 см и высотой 4 см вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Дано:
\(ABCD\) — прямоугольная трапеция, \(AD \parallel BC\), \(AB \perp AD\)
\(AD = 9\) см, \(BC = 6\) см, \(AB = 4\) см
ось вращения — прямая \(AD\)
Найти: \(S\) — площадь поверхности тела вращения.
Решение: Проведём \(CH \perp AD\). Четырёхугольник \(ABCH\) — прямоугольник (его стороны \(AB\) и \(HC\) перпендикулярны \(AD\), а \(BC \parallel AD\)), поэтому \(AH = BC = 6\) см и \(CH = AB = 4\) см. Так как \(AH < AD\), точка \(H\) лежит между точками \(A\) и \(D\) и \(HD = AD - AH = 9 - 6 = 3\) (см).
При вращении вокруг прямой \(AD\) прямоугольник \(ABCH\) (прямая \(AD\) содержит его сторону \(AH\)) образует цилиндр с радиусом основания \(AB = 4\) см и высотой \(AH = 6\) см: при вращении стороны \(AB\) образуется его основание — круг с центром \(A\), при вращении стороны \(BC\) — боковая поверхность. Прямоугольный треугольник \(CHD\) (прямая \(AD\) содержит его катет \(HD\)) образует конус с вершиной \(D\), радиусом основания \(HC = 4\) см и образующей \(CD\); основание конуса совпадает с другим основанием цилиндра — кругом с центром \(H\).
Поверхность полученного тела состоит из основания цилиндра с центром \(A\), боковой поверхности цилиндра и боковой поверхности конуса, поэтому её площадь равна сумме площадей этих частей.
Из прямоугольного треугольника \(CHD\): \(CD = \sqrt{CH^2 + HD^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\) (см). По формулам \(S_{\text{осн}} = \pi r^2\), \(S_{\text{бок}} = 2\pi rh\) (цилиндр) и \(S_{\text{бок}} = \pi rl\) (конус):
\[\begin{aligned} &S = \pi \cdot 4^2 + 2\pi \cdot 4 \cdot 6 + \pi \cdot 4 \cdot 5 = {} \\ &= 16\pi + 48\pi + 20\pi = 84\pi\ (\text{см}^2). \end{aligned}\]
Ответ: \(84\pi\) см\(^2\).
