Страницы 100-101 номер 10.12, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дано:
\(O\) и \(O_1\) — центры большего и меньшего оснований усечённого конуса
\(\pi r^2 = 4\pi\) см\(^2\) — площадь большего основания
\(\pi r_1^2 = \pi\) см\(^2\) — площадь меньшего основания
\(O_2\) — середина \(OO_1\)
секущая плоскость проходит через \(O_2\) перпендикулярно \(OO_1\)
Найти: \(S_1 : S_2\), где \(S_1\) и \(S_2\) — площади боковых поверхностей усечённых конусов с высотами \(O_1O_2\) и \(O_2O\).
Решение: Из \(\pi r^2 = 4\pi\) и \(\pi r_1^2 = \pi\) получаем \(r = 2\) см, \(r_1 = 1\) см. Плоскости оснований перпендикулярны оси \(OO_1\), поэтому секущая плоскость, перпендикулярная \(OO_1\) и отличная от них, параллельна каждой из них (две различные плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны). Она делит усечённый конус на два усечённых конуса — с высотами \(O_1O_2\) и \(O_2O\).
Пусть \(A\) — точка окружности большего основания. Плоскость, проходящая через ось \(OO_1\) и точку \(A\), пересекает усечённый конус по осевому сечению — равнобокой трапеции, одна из боковых сторон которой \(AA_1\) — образующая усечённого конуса (\(A_1\) — на окружности меньшего основания). Пусть \(A_2\) — точка пересечения \(AA_1\) с секущей плоскостью, \(AA_1 = l\).
Лежащие в плоскости осевого сечения отрезки \(OA\), \(O_2A_2\) и \(O_1A_1\) перпендикулярны оси \(OO_1\) (она перпендикулярна плоскостям оснований и секущей плоскости), следовательно, параллельны между собой. Параллельные прямые \(OA\), \(O_2A_2\), \(O_1A_1\) отсекают на прямой \(OO_1\) равные отрезки \(OO_2\) и \(O_2O_1\), поэтому по теореме Фалеса \(A_1A_2 = A_2A = \frac{l}{2}\), и \(O_2A_2\) — средняя линия трапеции \(OAA_1O_1\): \(O_2A_2 = \frac{r + r_1}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}\) (см). Точка \(A\) выбрана на окружности большего основания произвольно, поэтому сечение — круг с центром \(O_2\) и радиусом \(\frac{3}{2}\) см.
Усечённый конус с высотой \(O_1O_2\) имеет основания радиусов \(r_1 = 1\) см и \(\frac{3}{2}\) см и образующую \(A_1A_2 = \frac{l}{2}\), а усечённый конус с высотой \(O_2O\) — основания радиусов \(\frac{3}{2}\) см и \(r = 2\) см и образующую \(A_2A = \frac{l}{2}\).
\[\begin{aligned} S_1 &= \pi \left(1 + \frac{3}{2}\right) \cdot \frac{l}{2} = \frac{5\pi l}{4}; \\ S_2 &= \pi \left(\frac{3}{2} + 2\right) \cdot \frac{l}{2} = \frac{7\pi l}{4}. \end{aligned}\]
Значит, \(S_1 : S_2 = 5 : 7\).
Ответ: площади боковых поверхностей усечённых конусов с высотами \(O_1O_2\) и \(O_2O\) относятся как \(5 : 7\).
Дано:
\(O\) и \(O_1\) — центры большего и меньшего оснований усечённого конуса
\(\pi r^2 = 4\pi\) см\(^2\) — площадь большего основания
\(\pi r_1^2 = \pi\) см\(^2\) — площадь меньшего основания
\(O_2\) — середина \(OO_1\)
секущая плоскость проходит через \(O_2\) перпендикулярно \(OO_1\)
Найти: \(S_1 : S_2\), где \(S_1\) и \(S_2\) — площади боковых поверхностей усечённых конусов с высотами \(O_1O_2\) и \(O_2O\).
Решение: Из \(\pi r^2 = 4\pi\) и \(\pi r_1^2 = \pi\) получаем \(r = 2\) см, \(r_1 = 1\) см. Плоскости оснований перпендикулярны оси \(OO_1\), поэтому секущая плоскость, перпендикулярная \(OO_1\) и отличная от них, параллельна каждой из них (две различные плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны). Она делит усечённый конус на два усечённых конуса — с высотами \(O_1O_2\) и \(O_2O\).
Пусть \(A\) — точка окружности большего основания. Плоскость, проходящая через ось \(OO_1\) и точку \(A\), пересекает усечённый конус по осевому сечению — равнобокой трапеции, одна из боковых сторон которой \(AA_1\) — образующая усечённого конуса (\(A_1\) — на окружности меньшего основания). Пусть \(A_2\) — точка пересечения \(AA_1\) с секущей плоскостью, \(AA_1 = l\).
Лежащие в плоскости осевого сечения отрезки \(OA\), \(O_2A_2\) и \(O_1A_1\) перпендикулярны оси \(OO_1\) (она перпендикулярна плоскостям оснований и секущей плоскости), следовательно, параллельны между собой. Параллельные прямые \(OA\), \(O_2A_2\), \(O_1A_1\) отсекают на прямой \(OO_1\) равные отрезки \(OO_2\) и \(O_2O_1\), поэтому по теореме Фалеса \(A_1A_2 = A_2A = \frac{l}{2}\), и \(O_2A_2\) — средняя линия трапеции \(OAA_1O_1\): \(O_2A_2 = \frac{r + r_1}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}\) (см). Точка \(A\) выбрана на окружности большего основания произвольно, поэтому сечение — круг с центром \(O_2\) и радиусом \(\frac{3}{2}\) см.
Усечённый конус с высотой \(O_1O_2\) имеет основания радиусов \(r_1 = 1\) см и \(\frac{3}{2}\) см и образующую \(A_1A_2 = \frac{l}{2}\), а усечённый конус с высотой \(O_2O\) — основания радиусов \(\frac{3}{2}\) см и \(r = 2\) см и образующую \(A_2A = \frac{l}{2}\). По формуле площади боковой поверхности усечённого конуса \[\begin{aligned} S_1 &= \pi \left(1 + \frac{3}{2}\right) \cdot \frac{l}{2} = \frac{5\pi l}{4}; \\ S_2 &= \pi \left(\frac{3}{2} + 2\right) \cdot \frac{l}{2} = \frac{7\pi l}{4}. \end{aligned}\]
Значит, \(S_1 : S_2 = 5 : 7\).
Ответ: площади боковых поверхностей усечённых конусов с высотами \(O_1O_2\) и \(O_2O\) относятся как \(5 : 7\).
