Страница 94 номер 9.29, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(MA\), \(MB\), \(MC\) — образующие конуса
\(MA \perp MB\), \(MB \perp MC\), \(MA \perp MC\)

Найти: угол при вершине осевого сечения конуса.

Решение: Пусть \(M\) — вершина конуса, \(O\) — центр основания, \(l\) — образующая, \(r\) — радиус основания. Образующие конуса равны: \(MA = MB = MC = l\). Треугольники \(AMB\), \(BMC\) и \(AMC\) прямоугольные и равнобедренные, поэтому по теореме Пифагора \(AB = BC = AC = l\sqrt{2}\).

Точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на окружности основания, значит, эта окружность описана около правильного треугольника \(ABC\). По теореме синусов \(AB = 2r\sin 60^\circ = r\sqrt{3}\), откуда \(r = \frac{l\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{l\sqrt{6}}{3}\) и \(r^2 = \frac{2l^2}{3}\).

Пусть \(D\) — точка окружности основания, диаметрально противоположная точке \(A\). Плоскость \(AMD\) проходит через вершину \(M\) и центр \(O\) основания (середину диаметра \(AD\)), то есть через ось конуса, поэтому треугольник \(AMD\) — осевое сечение: \(MA = MD = l\), \(AD = 2r\). Обозначим \(\varphi = \angle AMD\).

По теореме косинусов для треугольника \(AMD\):

\[\begin{aligned} &\cos\varphi = \frac{MA^2 + MD^2 - AD^2}{2 \cdot MA \cdot MD} = \frac{2l^2 - 4r^2}{2l^2} = {} \\ &= 1 - \frac{2r^2}{l^2} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}. \end{aligned}\]

Угол \(\varphi\) — угол треугольника, поэтому \(\varphi = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\).

Ответ: \(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\).