Страница 94 номер 9.25, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(K\) — вершина конуса, \(O\) — центр основания
\(KA\) и \(KB\) — образующие, угол между плоскостью \(AKB\) и плоскостью основания равен \(\alpha\)
расстояние от точки \(O\) до плоскости \(AKB\) равно \(a\)
угол между образующей и плоскостью основания равен \(\beta\)

Найти: \(r\) — радиус основания конуса.

Решение: Точка \(O\) удалена от плоскости \(AKB\) на расстояние \(a\), поэтому не лежит в ней: хорда \(AB\) не является диаметром, и её середина \(E\) отлична от \(O\). Треугольник \(AOB\) равнобедренный (\(OA = OB\) — радиусы), поэтому его медиана \(OE\) является высотой: \(OE \perp AB\). Треугольник \(AKB\) равнобедренный (\(KA = KB\) — образующие), поэтому его медиана \(KE\) тоже является высотой: \(KE \perp AB\). Значит, угол \(KEO\) — линейный угол двугранного угла при ребре \(AB\), образованного плоскостью сечения и плоскостью основания. Ось конуса перпендикулярна плоскости основания, поэтому треугольник \(KOE\) прямоугольный и угол \(KEO\) острый; следовательно, угол между плоскостями равен углу \(KEO\): \(\angle KEO = \alpha\).

Прямая \(AB\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(OE\) и \(KE\) плоскости \(KOE\), поэтому \(AB \perp KOE\). Проведём в плоскости \(KOE\) перпендикуляр \(OF\) к прямой \(KE\); углы \(OKE\) и \(OEK\) прямоугольного треугольника \(KOE\) острые, поэтому точка \(F\) лежит на отрезке \(KE\). Прямая \(OF\) лежит в плоскости \(KOE\), поэтому \(OF \perp AB\). Прямая \(OF\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(KE\) и \(AB\) плоскости \(AKB\), поэтому \(OF \perp AKB\) и \(OF\) — расстояние от точки \(O\) до плоскости сечения: \(OF = a\).

Отрезок \(OA\) — проекция образующей \(KA\) на плоскость основания (\(KO\) перпендикулярна этой плоскости), поэтому угол между образующей и плоскостью основания — угол \(KAO\): \(\angle KAO = \beta\). Прямоугольные треугольники \(KOE\) и \(KOA\) с общим катетом \(KO\) изобразим на одном плоском чертеже, приложив их друг к другу по этому катету.

В прямоугольном треугольнике \(OFE\) (\(\angle OFE = 90^\circ\), \(\angle OEF = \alpha\)): \(OE = \frac{OF}{\sin\alpha} = \frac{a}{\sin\alpha}\). В прямоугольном треугольнике \(KOE\): \(KO = OE\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{a}{\cos\alpha}\). В прямоугольном треугольнике \(KOA\): \(r = OA = KO\operatorname{ctg}\beta = \frac{a\operatorname{ctg}\beta}{\cos\alpha}\).

Ответ: \(\frac{a\operatorname{ctg}\beta}{\cos\alpha}\).