Страница 95 номер 9.38, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Отрезки \(AD\) и \(CE\) — медианы треугольника \(ABC\). Найдите сторону \(AC\), если \(AB = 8\sqrt{5}\) см, \(BC = 6\sqrt{5}\) см и \(AD \perp CE\).
Дано:
треугольник \(ABC\), \(AD\) и \(CE\) — медианы
\(AB = 8\sqrt{5}\) см, \(BC = 6\sqrt{5}\) см
\(AD \perp CE\)
Найти: \(AC\).
Решение: Пусть \(M\) — точка пересечения медиан \(AD\) и \(CE\). Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении \(2 : 1\), считая от вершины; обозначим \(MD = x\), \(ME = y\), тогда \(AM = 2x\), \(CM = 2y\). Точка \(E\) — середина \(AB\), точка \(D\) — середина \(BC\), поэтому \(AE = 4\sqrt{5}\) см, \(CD = 3\sqrt{5}\) см.
Треугольники \(AME\), \(CMD\) и \(AMC\) прямоугольные с прямым углом при вершине \(M\). По теореме Пифагора для треугольников \(AME\) и \(CMD\):
\[\begin{cases} 4x^2 + y^2 = 80, \\ x^2 + 4y^2 = 45. \end{cases}\]
Сложим уравнения системы:
\[\begin{aligned} 5x^2 + 5y^2 &= 125; \qquad | : 5 \\ x^2 + y^2 &= 25. \end{aligned}\]
По теореме Пифагора для треугольника \(AMC\): \(AC^2 = AM^2 + CM^2 = 4x^2 + 4y^2 = 4(x^2 + y^2) = 100\), откуда \(AC = 10\) см.
Ответ: 10 см.
