Страница 100 номер 10.6, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(r = 12\) см — радиус большего основания усечённого конуса
\(r_1 = 4\) см — радиус меньшего основания
\(h = 15\) см — высота

Найти: образующую \(l\).

Решение: Пусть \(O\) и \(O_1\) — центры большего и меньшего оснований, \(ABCD\) — осевое сечение усечённого конуса: равнобокая трапеция с основаниями \(AD = 2r\) и \(BC = 2r_1\) (диаметры оснований, \(O\) и \(O_1\) — их середины) и боковыми сторонами \(AB = CD = l\) (образующие). Проведём высоту \(BM\) трапеции.

Прямые \(BM\) и \(OO_1\) лежат в плоскости осевого сечения и перпендикулярны прямой \(AD\) (ось \(OO_1\) перпендикулярна плоскости основания), поэтому \(BM \parallel OO_1\). Кроме того, \(O_1B \parallel OM\), так как \(BC \parallel AD\). Значит, \(O_1BMO\) — параллелограмм с прямым углом \(BMO\), то есть прямоугольник: \(BM = OO_1 = h = 15\) см, \(OM = O_1B = r_1 = 4\) см. Образующая \(AB\) не пересекает ось, поэтому точки \(A\) и \(B\), а с ними и точка \(M\), лежат по одну сторону от оси \(OO_1\); так как \(OM < OA\), точка \(M\) лежит на отрезке \(OA\). Тогда \(AM = OA - OM = 12 - 4 = 8\) (см).

Из треугольника \(ABM\) (\(\angle AMB = 90^\circ\)): \(l = AB = \sqrt{BM^2 + AM^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = 17\) (см).

Ответ: 17 см.