Страница 95 номер 9.34, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Глава 2. Тела вращения. §9. Конус. Страница 95. Номер 9.34

Задание / условие:

В основании конуса проведены хорды \(AB\) и \(BC\) так, что \(AB = 10\) см, \(BC = 18\) см, \(\angle ABC = 60^\circ\). Угол между образующей \(KC\) и хордой \(AB\) равен \(\arccos \frac{1}{3}\). Найдите образующую конуса.

Дано:
конус с вершиной \(K\)
\(AB\), \(BC\) — хорды основания, \(AB = 10\) см, \(BC = 18\) см, \(\angle ABC = 60^\circ\)
угол между прямыми \(KC\) и \(AB\) равен \(\arccos\frac{1}{3}\)

Найти: образующую конуса.

Решение: Пусть \(P\) — середина хорды \(AB\), \(C'\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(C\) на прямую \(AB\). Угол \(ABC\) острый, поэтому точка \(C'\) лежит на луче \(BA\) и \(BC' = BC\cos 60^\circ = 9\) (см). Так как \(BP = 5\) см, то \(PC' = 9 - 5 = 4\) (см).

Серединный перпендикуляр \(m\) к хорде \(AB\) проходит через центр основания, поэтому окружность основания симметрична относительно прямой \(m\). Прямые \(CC'\) и \(m\) перпендикулярны \(AB\), значит, параллельны, и точка \(C\) удалена от прямой \(m\) на \(PC' = 4\) см. Проведём через точку \(C\) прямую, параллельную \(AB\); она перпендикулярна \(m\) и при симметрии относительно \(m\) переходит в себя. Поэтому она пересекает окружность основания ещё в точке \(D\), симметричной точке \(C\) относительно \(m\), и \(CD = 2 \cdot 4 = 8\) (см).

график

Поскольку \(AB \parallel CD\), угол между прямыми \(KC\) и \(AB\) равен углу между прямыми \(KC\) и \(CD\). Пусть \(l\) — образующая конуса; в треугольнике \(KCD\) стороны \(KC\) и \(KD\) — образующие: \(KC = KD = l\). Угол \(KCD\) при основании равнобедренного треугольника острый, поэтому он и есть угол между прямыми \(KC\) и \(CD\): \(\angle KCD = \arccos\frac{1}{3}\). Пусть \(N\) — середина \(CD\); медиана \(KN\) является высотой треугольника \(KCD\).

график