Страница 93 номер 9.18, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямоугольная трапеция с основаниями 3 см и 4 см и острым углом \(45^\circ\) вращается вокруг прямой, содержащей её меньшее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Дано:
\(ABCD\) — прямоугольная трапеция, \(AD \parallel BC\), \(AB \perp BC\)
\(BC = 3\) см, \(AD = 4\) см, \(\angle D = 45^\circ\)
ось вращения — прямая \(BC\)
Найти: \(S\) — площадь поверхности тела вращения.
Решение: Проведём \(DE \perp BC\) (\(E\) — на прямой \(BC\)). Четырёхугольник \(ABED\) — прямоугольник (его стороны \(BA\) и \(ED\) перпендикулярны прямой \(BC\), а \(AD \parallel BC\)), поэтому \(BE = AD = 4\) см и \(ED = AB\). Так как \(BC < BE\), точка \(C\) лежит на стороне \(BE\) прямоугольника и \(CE = BE - BC = 4 - 3 = 1\) (см).
Луч \(DC\) проходит внутри прямого угла \(ADE\), поэтому \(\angle CDE = 90^\circ - \angle ADC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Прямоугольный треугольник \(CED\) с острым углом \(45^\circ\) равнобедренный: \(ED = CE = 1\) см, и по теореме Пифагора \(CD = \sqrt{CE^2 + ED^2} = \sqrt{2}\) (см). Значит, \(AB = ED = 1\) см.
При вращении вокруг прямой \(BC\) прямоугольник \(ABED\) (прямая \(BC\) содержит его сторону \(BE\)) образует цилиндр с радиусом основания \(AB = 1\) см и высотой \(BE = 4\) см, а прямоугольный треугольник \(CED\) (прямая \(BC\) содержит его катет \(CE\)) — конус с вершиной \(C\), радиусом основания \(ED = 1\) см и образующей \(CD\); основание этого конуса совпадает с основанием цилиндра с центром \(E\). Трапеция \(ABCD\) получается из прямоугольника \(ABED\) удалением треугольника \(CED\), поэтому тело вращения — цилиндр, из которого удалён этот конус: в цилиндре коническая выемка с вершиной \(C\).
Поверхность полученного тела состоит из основания цилиндра с центром \(B\), боковой поверхности цилиндра и боковой поверхности выемки — конуса с вершиной \(C\) (другое основание цилиндра занято выемкой).
\[\begin{aligned} &S = \pi \cdot 1^2 + 2\pi \cdot 1 \cdot 4 + \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = {} \\ &= \pi + 8\pi + \pi\sqrt{2} = \pi(9 + \sqrt{2})\ (\text{см}^2). \end{aligned}\]
Ответ: \(\pi(9 + \sqrt{2})\) см\(^2\).
Прямоугольная трапеция с основаниями 3 см и 4 см и острым углом \(45^\circ\) вращается вокруг прямой, содержащей её меньшее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Дано:
\(ABCD\) — прямоугольная трапеция, \(AD \parallel BC\), \(AB \perp BC\)
\(BC = 3\) см, \(AD = 4\) см, \(\angle D = 45^\circ\)
ось вращения — прямая \(BC\)
Найти: \(S\) — площадь поверхности тела вращения.
Решение: Проведём \(DE \perp BC\) (\(E\) — на прямой \(BC\)). Четырёхугольник \(ABED\) — прямоугольник (его стороны \(BA\) и \(ED\) перпендикулярны прямой \(BC\), а \(AD \parallel BC\)), поэтому \(BE = AD = 4\) см и \(ED = AB\). Так как \(BC < BE\), точка \(C\) лежит на стороне \(BE\) прямоугольника и \(CE = BE - BC = 4 - 3 = 1\) (см).
Луч \(DC\) проходит внутри прямого угла \(ADE\), поэтому \(\angle CDE = 90^\circ - \angle ADC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Прямоугольный треугольник \(CED\) с острым углом \(45^\circ\) равнобедренный: \(ED = CE = 1\) см, и по теореме Пифагора \(CD = \sqrt{CE^2 + ED^2} = \sqrt{2}\) (см). Значит, \(AB = ED = 1\) см.
При вращении вокруг прямой \(BC\) прямоугольник \(ABED\) (прямая \(BC\) содержит его сторону \(BE\)) образует цилиндр с радиусом основания \(AB = 1\) см и высотой \(BE = 4\) см, а прямоугольный треугольник \(CED\) (прямая \(BC\) содержит его катет \(CE\)) — конус с вершиной \(C\), радиусом основания \(ED = 1\) см и образующей \(CD\); основание этого конуса совпадает с основанием цилиндра с центром \(E\). Трапеция \(ABCD\) получается из прямоугольника \(ABED\) удалением треугольника \(CED\), поэтому тело вращения — цилиндр, из которого удалён этот конус: в цилиндре коническая выемка с вершиной \(C\).
Поверхность полученного тела состоит из основания цилиндра с центром \(B\), боковой поверхности цилиндра и боковой поверхности выемки — конуса с вершиной \(C\) (другое основание цилиндра занято выемкой), поэтому её площадь равна сумме площадей этих частей:
\[\begin{aligned} &S = \pi \cdot 1^2 + 2\pi \cdot 1 \cdot 4 + \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = {} \\ &= \pi + 8\pi + \pi\sqrt{2} = \pi(9 + \sqrt{2})\ (\text{см}^2). \end{aligned}\]
Ответ: \(\pi(9 + \sqrt{2})\) см\(^2\).
