Страница 95 номер 9.35, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
конус с вершиной \(S\), \(O\) — центр основания, \(SO = 20\) см
\(AB\) — диаметр основания, \(C\) — точка окружности основания
расстояние от точки \(C\) до прямой \(AB\) равно \(15\) см

Найти: расстояние между прямыми \(AB\) и \(SC\).

Решение: Прямая \(AB\) лежит в плоскости основания, а прямая \(SC\) пересекает эту плоскость только в точке \(C\), не лежащей на \(AB\), поэтому прямые \(AB\) и \(SC\) скрещиваются. Проведём в плоскости основания через точку \(C\) прямую \(CD\), параллельную \(AB\). Плоскость \(SCD\) пересекает плоскость основания по прямой \(CD\), отличной от \(AB\), поэтому прямая \(AB\) не лежит в плоскости \(SCD\) и, будучи параллельной прямой \(CD\) этой плоскости, параллельна самой плоскости. Значит, расстояние между скрещивающимися прямыми \(AB\) и \(SC\) равно расстоянию от прямой \(AB\) до плоскости \(SCD\), то есть расстоянию от любой точки прямой \(AB\), например от центра \(O\), до этой плоскости.

Пусть \(E\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(O\) на прямую \(CD\). Так как \(AB \parallel CD\), то \(OE \perp AB\), и \(OE\) — расстояние между параллельными прямыми \(AB\) и \(CD\); оно равно расстоянию от точки \(C\) до прямой \(AB\): \(OE = 15\) см. Ось \(SO\) перпендикулярна плоскости основания, \(OE\) — проекция наклонной \(SE\) на эту плоскость, и \(CD \perp OE\), поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(CD \perp SE\). Прямая \(CD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(OE\) и \(SE\) плоскости \(SOE\), поэтому \(CD \perp SOE\).

Проведём в треугольнике \(SOE\) высоту \(OF\). Прямая \(OF\) лежит в плоскости \(SOE\), поэтому \(OF \perp CD\); кроме того, \(OF \perp SE\). Значит, прямая \(OF\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(CD\) и \(SE\) плоскости \(SCD\), то есть \(OF \perp SCD\), и искомое расстояние равно длине отрезка \(OF\).

Треугольник \(SOE\) прямоугольный (\(\angle SOE = 90^\circ\)), и \(OF\) — его высота, проведённая к гипотенузе.

По теореме Пифагора \(SE = \sqrt{SO^2 + OE^2} = \sqrt{400 + 225} = 25\) (см). Удвоенную площадь треугольника \(SOE\) запишем двумя способами: \(SO \cdot OE = SE \cdot OF\), откуда \(OF = \frac{SO \cdot OE}{SE} = \frac{20 \cdot 15}{25} = 12\) (см).

Ответ: 12 см.