Страница 101 номер 10.14, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Радиусы оснований усечённого конуса равны 5 см и 15 см, а диагональ осевого сечения — \(4\sqrt{61}\) см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.
Дано:
\(r = 15\) см — радиус большего основания усечённого конуса
\(r_1 = 5\) см — радиус меньшего основания
диагональ осевого сечения равна \(4\sqrt{61}\) см
Найти: \(S_{\text{бок}}\).
Решение: Осевое сечение усечённого конуса — равнобокая трапеция \(ABCD\), основания которой — диаметры оснований усечённого конуса, а боковые стороны — образующие: \(AD = 2r = 30\) см, \(BC = 2r_1 = 10\) см, \(AB = CD\). Диагонали равнобокой трапеции равны, поэтому \(BD = 4\sqrt{61}\) см.
Проведём высоту \(BM\) трапеции. В равнобокой трапеции \(AM = \frac{AD - BC}{2} = r - r_1 = 10\) (см), \(MD = \frac{AD + BC}{2} = r + r_1 = 20\) (см).
Из прямоугольного треугольника \(BMD\): \(BM = \sqrt{BD^2 - MD^2} = \sqrt{976 - 400} = \sqrt{576} = 24\) (см). Из прямоугольного треугольника \(ABM\): \(AB = \sqrt{AM^2 + BM^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26\) (см).
Значит, \(S_{\text{бок}} = \pi (r + r_1) \cdot AB = \pi \cdot 20 \cdot 26 = 520\pi\) (см\(^2\)).
Ответ: \(520\pi\) см\(^2\).
Радиусы оснований усечённого конуса равны 5 см и 15 см, а диагональ осевого сечения — \(4\sqrt{61}\) см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.
Дано:
\(r = 15\) см — радиус большего основания усечённого конуса
\(r_1 = 5\) см — радиус меньшего основания
диагональ осевого сечения равна \(4\sqrt{61}\) см
Найти: \(S_{\text{бок}}\).
Решение: Осевое сечение усечённого конуса — равнобокая трапеция \(ABCD\), основания которой — диаметры оснований усечённого конуса, а боковые стороны — образующие: \(AD = 2r = 30\) см, \(BC = 2r_1 = 10\) см, \(AB = CD\). Диагонали равнобокой трапеции равны, поэтому \(BD = 4\sqrt{61}\) см.
Проведём высоту \(BM\) трапеции. В равнобокой трапеции высота, проведённая из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, равные полуразности и полусумме оснований: \(AM = \frac{AD - BC}{2} = r - r_1 = 10\) (см), \(MD = \frac{AD + BC}{2} = r + r_1 = 20\) (см).
Из прямоугольного треугольника \(BMD\): \(BM = \sqrt{BD^2 - MD^2} = \sqrt{976 - 400} = \sqrt{576} = 24\) (см). Из прямоугольного треугольника \(ABM\) находим образующую усечённого конуса: \(AB = \sqrt{AM^2 + BM^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26\) (см).
Значит, \(S_{\text{бок}} = \pi (r + r_1) \cdot AB = \pi \cdot 20 \cdot 26 = 520\pi\) (см\(^2\)).
Ответ: \(520\pi\) см\(^2\).
