Страница 93 номер 9.22, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Развёрткой боковой поверхности конуса является полукруг. Какова величина угла при вершине осевого сечения конуса?
Дано:
развёртка боковой поверхности конуса — полукруг
\(AKB\) — осевое сечение конуса (\(K\) — вершина, \(O\) — центр основания)
Найти: \(\angle AKB\).
Решение: Развёртка боковой поверхности конуса — сектор, радиус которого равен образующей \(l\), а длина дуги — длине окружности основания \(2\pi r\).
Длина дуги полукруга радиуса \(l\) равна половине длины окружности этого радиуса, то есть \(\pi l\). Поэтому \(2\pi r = \pi l\), откуда \(l = 2r\).
Осевое сечение \(AKB\) — равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — образующие \(KA = KB = l = 2r\), а основание \(AB\) — диаметр основания конуса, \(AB = 2r\). Значит, \(KA = KB = AB\), треугольник \(AKB\) равносторонний и \(\angle AKB = 60^\circ\).
Ответ: \(60^\circ\).
Развёрткой боковой поверхности конуса является полукруг. Какова величина угла при вершине осевого сечения конуса?
Дано:
развёртка боковой поверхности конуса — полукруг
\(AKB\) — осевое сечение конуса (\(K\) — вершина, \(O\) — центр основания)
Найти: \(\angle AKB\).
Решение: Развёртка боковой поверхности конуса — сектор, радиус которого равен образующей \(l\), а длина дуги — длине окружности основания \(2\pi r\). Полукруг — сектор с дугой \(180^\circ\).
Длина дуги полукруга радиуса \(l\) равна половине длины окружности этого радиуса, то есть \(\pi l\). Поэтому \(2\pi r = \pi l\), откуда \(l = 2r\).
Осевое сечение \(AKB\) — равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — образующие \(KA = KB = l = 2r\), а основание \(AB\) — диаметр основания конуса, \(AB = 2r\). Значит, \(KA = KB = AB\), треугольник \(AKB\) равносторонний и \(\angle AKB = 60^\circ\).
Ответ: \(60^\circ\).
