Страница 100 номер 10.9, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Высоту конуса разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели плоскости, параллельные основанию конуса. Найдите площадь наибольшего из образовавшихся сечений конуса, если площадь его основания равна \(S\).
Дано:
\(K\) — вершина конуса, \(O\) — центр основания
\(O_1\), \(O_2\), \(O_3\) — точки отрезка \(KO\), \(KO_1 = O_1O_2 = O_2O_3 = O_3O\)
секущие плоскости проходят через \(O_1\), \(O_2\), \(O_3\) параллельно основанию
\(S_{\text{осн}} = S\)
Найти: площадь наибольшего из сечений.
Решение:
Пусть \(r\) — радиус основания, \(A\) — точка окружности основания, а образующая \(KA\) пересекает секущие плоскости в точках \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\). Прямая \(KO\) — ось конуса, поэтому она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и параллельным ей секущим плоскостям. Следовательно, треугольники \(KO_1A_1\), \(KO_2A_2\), \(KO_3A_3\) и \(KOA\) прямоугольные (с прямыми углами при вершинах \(O_1\), \(O_2\), \(O_3\) и \(O\)) и имеют общий острый угол \(AKO\), следовательно, они подобны: \(O_1A_1 = \frac{KO_1}{KO} \cdot r = \frac{1}{4}r\), \(O_2A_2 = \frac{KO_2}{KO} \cdot r = \frac{1}{2}r\), \(O_3A_3 = \frac{KO_3}{KO} \cdot r = \frac{3}{4}r\).
Точка \(A\) выбрана на окружности основания произвольно, поэтому сечения — круги с центрами \(O_1\), \(O_2\), \(O_3\) и радиусами \(\frac{1}{4}r\), \(\frac{1}{2}r\), \(\frac{3}{4}r\). Наибольший из них — круг радиуса \(\frac{3}{4}r\) с центром \(O_3\); его площадь равна \(\pi \cdot \left(\frac{3}{4}r\right)^2 = \frac{9}{16}\pi r^2 = \frac{9}{16}S\), так как \(S = \pi r^2\).
Ответ: площадь наибольшего сечения равна \(\frac{9}{16}S\).
Высоту конуса разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели плоскости, параллельные основанию конуса. Найдите площадь наибольшего из образовавшихся сечений конуса, если площадь его основания равна \(S\).
Дано:
\(K\) — вершина конуса, \(O\) — центр основания
\(O_1\), \(O_2\), \(O_3\) — точки отрезка \(KO\), \(KO_1 = O_1O_2 = O_2O_3 = O_3O\)
секущие плоскости проходят через \(O_1\), \(O_2\), \(O_3\) параллельно основанию
\(S_{\text{осн}} = S\)
Найти: площадь наибольшего из сечений.
Решение: Сечения конуса плоскостями, параллельными основанию, — круги.
Пусть \(r\) — радиус основания, \(A\) — точка окружности основания, а образующая \(KA\) пересекает секущие плоскости в точках \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\). Прямая \(KO\) — ось конуса, поэтому она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и параллельным ей секущим плоскостям. Следовательно, треугольники \(KO_1A_1\), \(KO_2A_2\), \(KO_3A_3\) и \(KOA\) прямоугольные (с прямыми углами при вершинах \(O_1\), \(O_2\), \(O_3\) и \(O\)) и имеют общий острый угол \(AKO\), следовательно, они подобны: \(O_1A_1 = \frac{KO_1}{KO} \cdot r = \frac{1}{4}r\), \(O_2A_2 = \frac{KO_2}{KO} \cdot r = \frac{1}{2}r\), \(O_3A_3 = \frac{KO_3}{KO} \cdot r = \frac{3}{4}r\).
Точка \(A\) выбрана на окружности основания произвольно, поэтому сечения — круги с центрами \(O_1\), \(O_2\), \(O_3\) и радиусами \(\frac{1}{4}r\), \(\frac{1}{2}r\), \(\frac{3}{4}r\). Наибольший из них — круг радиуса \(\frac{3}{4}r\) с центром \(O_3\); его площадь равна \(\pi \cdot \left(\frac{3}{4}r\right)^2 = \frac{9}{16}\pi r^2 = \frac{9}{16}S\), так как \(S = \pi r^2\).
Ответ: площадь наибольшего сечения равна \(\frac{9}{16}S\).
