Страница 94 номер 9.30, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(MA\), \(MB\), \(MC\) — образующие конуса
\(MA \perp MB\), \(MB \perp MC\), \(MA \perp MC\)
\(MA = 3\) см

Найти: \(S_{\text{бок}}\).

Решение: Пусть \(M\) — вершина конуса, \(O\) — центр основания, \(r\) — радиус основания, \(l\) — образующая. Образующие конуса равны: \(MA = MB = MC = l = 3\) см. Треугольники \(AMB\), \(BMC\) и \(AMC\) прямоугольные и равнобедренные, поэтому по теореме Пифагора \(AB = BC = AC = 3\sqrt{2}\) см.

Точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на окружности основания, значит, эта окружность описана около правильного треугольника \(ABC\), и её радиус \(OA = r\).

По теореме синусов \(AB = 2r\sin 60^\circ = r\sqrt{3}\), откуда \(r = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6}\) (см).

\(S_{\text{бок}} = \pi rl = \pi \cdot \sqrt{6} \cdot 3 = 3\pi\sqrt{6}\) (см\(^2\)).

Ответ: \(3\pi\sqrt{6}\) см\(^2\).