Страница 95 номер 9.37, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
конус с вершиной \(S\), \(r = \frac{2}{3}\) см, \(l = 2\) см
\(A\) — точка окружности основания, начало и конец замкнутого пути по боковой поверхности

Найти: длину кратчайшего такого пути.

Решение: Речь идёт о замкнутом пути, который обходит конус, то есть пересекает каждую образующую.

Разрежем боковую поверхность конуса по образующей \(SA\) и рассмотрим её развёртку — круговой сектор радиуса \(l = 2\) см с длиной дуги \(2\pi r\). Его угол \(\alpha = \frac{360r}{l} = \frac{360 \cdot \frac{2}{3}}{2} = 120^\circ\). Образующей \(SA\) на развёртке соответствуют два радиуса сектора, \(SA\) и \(SA'\), а точке \(A\) — оба конца дуги, \(A\) и \(A'\).

Путь, обходящий конус, на развёртке изображается линией, соединяющей точки \(A\) и \(A'\); кратчайшая такая линия — отрезок \(AA'\). Угол сектора \(120^\circ < 180^\circ\), поэтому отрезок \(AA'\) целиком лежит в секторе, и ему соответствует путь по боковой поверхности конуса.

В треугольнике \(ASA'\): \(SA = SA' = 2\) см, \(\angle ASA' = 120^\circ\). По теореме косинусов \(AA'^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\cos 120^\circ = 4 + 4 + 4 = 12\), откуда \(AA' = 2\sqrt{3}\) см.

Ответ: \(2\sqrt{3}\) см.