Страница 101 номер 10.17, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Высота усечённого конуса равна 6 см, а угол между его образующей и плоскостью большего основания составляет \(60^\circ\). Диагонали осевого сечения усечённого конуса перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.
Дано:
\(h = 6\) см — высота усечённого конуса
угол между образующей и плоскостью большего основания — \(60^\circ\)
диагонали осевого сечения перпендикулярны
Найти: \(S_{\text{бок}}\).
Решение: Пусть \(r\) и \(r_1\) — радиусы большего и меньшего оснований, \(O\) и \(O_1\) — их центры. Осевое сечение — равнобокая трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD = 2r\) и \(BC = 2r_1\) (диаметры оснований) и боковыми сторонами \(AB\) и \(CD\) (образующие); \(K\) — точка пересечения её диагоналей, \(\angle AKD = 90^\circ\).
Трапеция равнобокая, поэтому треугольник \(AKD\) равнобедренный. Так как \(\angle AKD = 90^\circ\), то \(\angle BDA = 45^\circ\).
Проведём высоту \(BM\) трапеции. Ось \(OO_1\) перпендикулярна плоскости большего основания, а значит, и прямой \(AD\). Прямые \(BM\) и \(OO_1\) лежат в плоскости \(ABCD\) и перпендикулярны прямой \(AD\), поэтому \(BM \parallel OO_1\) и \(BM\) тоже перпендикулярна плоскости большего основания. Значит, \(BM\) — высота усечённого конуса, \(BM = 6\) см, а \(AM\) — проекция образующей \(AB\) на плоскость большего основания, и угол между образующей и этой плоскостью — угол \(BAM\): \(\angle BAM = 60^\circ\).
В прямоугольном треугольнике \(BMD\) угол \(BDM\) равен \(45^\circ\), поэтому \(MD = BM = 6\) см. В равнобокой трапеции \(MD = \frac{AD + BC}{2} = r + r_1\), откуда \(r + r_1 = 6\) см.
В прямоугольном треугольнике \(BAM\): \(AB = \frac{BM}{\sin 60^\circ} = 6 : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\) (см).
Значит, \(S_{\text{бок}} = \pi (r + r_1) \cdot AB = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\pi\sqrt{3}\) (см\(^2\)).
Ответ: \(24\pi\sqrt{3}\) см\(^2\).
Высота усечённого конуса равна 6 см, а угол между его образующей и плоскостью большего основания составляет \(60^\circ\). Диагонали осевого сечения усечённого конуса перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.
Дано:
\(h = 6\) см — высота усечённого конуса
угол между образующей и плоскостью большего основания — \(60^\circ\)
диагонали осевого сечения перпендикулярны
Найти: \(S_{\text{бок}}\).
Решение: Пусть \(r\) и \(r_1\) — радиусы большего и меньшего оснований, \(O\) и \(O_1\) — их центры. Осевое сечение — равнобокая трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD = 2r\) и \(BC = 2r_1\) (диаметры оснований) и боковыми сторонами \(AB\) и \(CD\) (образующие); \(K\) — точка пересечения её диагоналей, \(\angle AKD = 90^\circ\).
Трапеция равнобокая, поэтому треугольник \(AKD\) равнобедренный. Так как \(\angle AKD = 90^\circ\), то \(\angle BDA = 45^\circ\).
Проведём высоту \(BM\) трапеции. Ось \(OO_1\) перпендикулярна плоскости большего основания, а значит, и прямой \(AD\). Прямые \(BM\) и \(OO_1\) лежат в плоскости \(ABCD\) и перпендикулярны прямой \(AD\), поэтому \(BM \parallel OO_1\) и \(BM\) тоже перпендикулярна плоскости большего основания. Значит, \(BM\) — высота усечённого конуса, \(BM = 6\) см, а \(AM\) — проекция образующей \(AB\) на плоскость большего основания, и угол между образующей и этой плоскостью — угол \(BAM\): \(\angle BAM = 60^\circ\).
В прямоугольном треугольнике \(BMD\) угол \(BDM\) равен \(45^\circ\), поэтому \(MD = BM = 6\) см. В равнобокой трапеции отрезок \(MD\) равен полусумме оснований: \(MD = \frac{AD + BC}{2} = r + r_1\), откуда \(r + r_1 = 6\) см.
В прямоугольном треугольнике \(BAM\): \(AB = \frac{BM}{\sin 60^\circ} = 6 : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\) (см).
Значит, \(S_{\text{бок}} = \pi (r + r_1) \cdot AB = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\pi\sqrt{3}\) (см\(^2\)).
Ответ: \(24\pi\sqrt{3}\) см\(^2\).
