Страница 100 номер 10.8, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дана трапеция \(ABCD\) такая, что \(BC \parallel AD\), \(AB \perp AD\), \(AB = 6\sqrt{3}\) см, \(BC = 2\) см, \(\angle D = 60^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, полученного в результате вращения данной трапеции вокруг прямой \(AB\).
Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(BC \parallel AD\), \(AB \perp AD\)
\(AB = 6\sqrt{3}\) см
\(BC = 2\) см
\(\angle D = 60^\circ\)
трапеция вращается вокруг прямой \(AB\)
Найти: \(S_{\text{бок}}\) усечённого конуса.
Решение: Прямоугольная трапеция \(ABCD\) вращается вокруг прямой \(AB\), содержащей её меньшую боковую сторону, поэтому образуется усечённый конус: основания \(AD\) и \(BC\) трапеции описывают его основания — круги с центрами \(A\) и \(B\) и радиусами \(AD\) и \(BC\), а боковая сторона \(CD\) описывает его боковую поверхность, то есть \(CD\) — образующая усечённого конуса.
Проведём высоту \(CH\) трапеции. Четырёхугольник \(ABCH\) — прямоугольник, поэтому \(CH = AB = 6\sqrt{3}\) см и \(AH = BC = 2\) см. Из треугольника \(CHD\) (\(\angle CHD = 90^\circ\)): \(CD = \frac{CH}{\sin 60^\circ} = 6\sqrt{3} : \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\) (см), \(HD = \frac{CH}{\operatorname{tg} 60^\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\) (см). Тогда \(AD = AH + HD = 2 + 6 = 8\) (см).
\(S_{\text{бок}} = \pi (AD + BC) \cdot CD = \pi \cdot (8 + 2) \cdot 12 = 120\pi\) (см\(^2\)).
Ответ: \(120\pi\) см\(^2\).
Дана трапеция \(ABCD\) такая, что \(BC \parallel AD\), \(AB \perp AD\), \(AB = 6\sqrt{3}\) см, \(BC = 2\) см, \(\angle D = 60^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, полученного в результате вращения данной трапеции вокруг прямой \(AB\).
Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(BC \parallel AD\), \(AB \perp AD\)
\(AB = 6\sqrt{3}\) см
\(BC = 2\) см
\(\angle D = 60^\circ\)
трапеция вращается вокруг прямой \(AB\)
Найти: \(S_{\text{бок}}\) усечённого конуса.
Решение: Прямоугольная трапеция \(ABCD\) вращается вокруг прямой \(AB\), содержащей её меньшую боковую сторону, поэтому образуется усечённый конус: основания \(AD\) и \(BC\) трапеции описывают его основания — круги с центрами \(A\) и \(B\) и радиусами \(AD\) и \(BC\), а боковая сторона \(CD\) описывает его боковую поверхность, то есть \(CD\) — образующая усечённого конуса.
Проведём высоту \(CH\) трапеции. Четырёхугольник \(ABCH\) — прямоугольник, поэтому \(CH = AB = 6\sqrt{3}\) см и \(AH = BC = 2\) см. Из треугольника \(CHD\) (\(\angle CHD = 90^\circ\)): \(CD = \frac{CH}{\sin 60^\circ} = 6\sqrt{3} : \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\) (см), \(HD = \frac{CH}{\operatorname{tg} 60^\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\) (см). Тогда \(AD = AH + HD = 2 + 6 = 8\) (см).
По формуле площади боковой поверхности усечённого конуса \(S_{\text{бок}} = \pi (AD + BC) \cdot CD = \pi \cdot (8 + 2) \cdot 12 = 120\pi\) (см\(^2\)).
Ответ: \(120\pi\) см\(^2\).
