Страница 101 номер 10.15, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В усечённом конусе проведено осевое сечение \(CC_1D_1D\) и по разные стороны от него на основаниях конуса выбраны точки \(A\) и \(B\) (рис. 10.10). Постройте точку пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(CC_1D_1\).
Пусть \(O\) и \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований усечённого конуса. Ось \(OO_1\) перпендикулярна плоскостям оснований и лежит в плоскости осевого сечения \(CC_1D_1D\). Как видно на рисунке, точка \(A\) лежит на нижнем основании, а точка \(B\) — на верхнем.
Проведём через точку \(B\) прямую, параллельную оси \(OO_1\). Ось перпендикулярна плоскости нижнего основания, а если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоскости. Поэтому проведённая прямая пересекает плоскость нижнего основания; точку пересечения обозначим \(B'\).
Прямая \(BB'\) параллельна прямой \(OO_1\), лежащей в плоскости \(CC_1D_1\), а точка \(B\) этой плоскости не принадлежит, поэтому прямая \(BB'\) параллельна плоскости \(CC_1D_1\). Значит, точка \(B'\) лежит по ту же сторону от плоскости \(CC_1D_1\), что и точка \(B\), то есть по другую сторону, чем точка \(A\). Тогда отрезок \(AB'\) пересекает плоскость \(CC_1D_1\). Этот отрезок лежит в плоскости нижнего основания, а она пересекает плоскость \(CC_1D_1\) по прямой \(CD\) (точки \(C\) и \(D\) лежат в обеих плоскостях), поэтому точка пересечения лежит на прямой \(CD\). Обозначим её \(P\): \(P\) — точка пересечения прямых \(AB'\) и \(CD\).
Через точку \(P\) проведём прямую, параллельную оси \(OO_1\); как и прямая \(BB'\), она перпендикулярна плоскостям оснований и пересекает плоскость верхнего основания в некоторой точке \(P_1\). Прямая \(PP_1\) проходит через точку \(P\) плоскости \(CC_1D_1\) параллельно прямой \(OO_1\) этой плоскости, поэтому лежит в плоскости \(CC_1D_1\).
Точка \(B\) не лежит в плоскости нижнего основания, которой принадлежит прямая \(AB'\), поэтому точки \(A\), \(B\) и \(B'\) не лежат на одной прямой и задают плоскость \(ABB'\). Прямая \(PP_1\) проходит через точку \(P\) этой плоскости (точка \(P\) лежит на прямой \(AB'\)) параллельно прямой \(BB'\) этой плоскости, поэтому тоже лежит в плоскости \(ABB'\).
Плоскости \(ABB'\) и \(CC_1D_1\) различны (точка \(A\) не лежит в плоскости \(CC_1D_1\)) и обе содержат прямую \(PP_1\), значит, пересекаются по этой прямой. Точки \(A\) и \(B\) лежат по разные стороны от плоскости \(CC_1D_1\), поэтому отрезок \(AB\) пересекает её в некоторой точке \(X\). Точка \(X\) принадлежит обеим плоскостям, то есть лежит на прямой \(PP_1\). Следовательно, \(X\) — точка пересечения прямых \(AB\) и \(PP_1\).
Ответ: искомая точка — точка \(X\) пересечения прямых \(AB\) и \(PP_1\), где \(BB' \parallel PP_1 \parallel OO_1\), а \(P\) — точка пересечения прямых \(AB'\) и \(CD\).
В усечённом конусе проведено осевое сечение \(CC_1D_1D\) и по разные стороны от него на основаниях конуса выбраны точки \(A\) и \(B\) (рис. 10.10). Постройте точку пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(CC_1D_1\).
Пусть \(O\) и \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований усечённого конуса. Ось \(OO_1\) перпендикулярна плоскостям оснований и лежит в плоскости осевого сечения \(CC_1D_1D\). Как видно на рисунке, точка \(A\) лежит на нижнем основании, а точка \(B\) — на верхнем.
Проведём через точку \(B\) прямую, параллельную оси \(OO_1\). Ось перпендикулярна плоскости нижнего основания, а если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоскости. Поэтому проведённая прямая пересекает плоскость нижнего основания; точку пересечения обозначим \(B'\).
Прямая \(BB'\) параллельна прямой \(OO_1\), лежащей в плоскости \(CC_1D_1\), а точка \(B\) этой плоскости не принадлежит, поэтому прямая \(BB'\) параллельна плоскости \(CC_1D_1\) и не имеет с ней общих точек. Значит, точка \(B'\) лежит по ту же сторону от плоскости \(CC_1D_1\), что и точка \(B\), то есть по другую сторону, чем точка \(A\). Тогда отрезок \(AB'\) пересекает плоскость \(CC_1D_1\). Этот отрезок лежит в плоскости нижнего основания, а она пересекает плоскость \(CC_1D_1\) по прямой \(CD\) (точки \(C\) и \(D\) лежат в обеих плоскостях), поэтому точка пересечения лежит на прямой \(CD\). Обозначим её \(P\): \(P\) — точка пересечения прямых \(AB'\) и \(CD\).
Через точку \(P\) проведём прямую, параллельную оси \(OO_1\); как и прямая \(BB'\), она перпендикулярна плоскостям оснований и пересекает плоскость верхнего основания в некоторой точке \(P_1\). Прямая \(PP_1\) проходит через точку \(P\) плоскости \(CC_1D_1\) параллельно прямой \(OO_1\) этой плоскости, поэтому лежит в плоскости \(CC_1D_1\).
Точка \(B\) не лежит в плоскости нижнего основания, которой принадлежит прямая \(AB'\), поэтому точки \(A\), \(B\) и \(B'\) не лежат на одной прямой и задают плоскость \(ABB'\). Прямая \(PP_1\) проходит через точку \(P\) этой плоскости (точка \(P\) лежит на прямой \(AB'\)) параллельно прямой \(BB'\) этой плоскости, поэтому тоже лежит в плоскости \(ABB'\).
Плоскости \(ABB'\) и \(CC_1D_1\) различны (точка \(A\) не лежит в плоскости \(CC_1D_1\)) и обе содержат прямую \(PP_1\), значит, пересекаются по этой прямой. Точки \(A\) и \(B\) лежат по разные стороны от плоскости \(CC_1D_1\), поэтому отрезок \(AB\) пересекает её в некоторой точке \(X\). Точка \(X\) принадлежит обеим плоскостям, то есть лежит на прямой \(PP_1\). Следовательно, \(X\) — точка пересечения прямых \(AB\) и \(PP_1\).
Ответ: искомая точка — точка \(X\) пересечения прямых \(AB\) и \(PP_1\), где \(BB' \parallel PP_1 \parallel OO_1\), а \(P\) — точка пересечения прямых \(AB'\) и \(CD\).
