Страница 94 номер 9.27, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
конус с вершиной \(K\), \(O\) — центр основания, радиус основания равен \(R\)
\(KA\) и \(KB\) — образующие, \(KAB\) — сечение
угол между плоскостью \(KAB\) и плоскостью основания равен \(\alpha\)
угол между образующей и плоскостью основания равен \(\beta\)

Найти: площадь сечения \(KAB\).

Решение: Пусть \(\alpha < 90^\circ\). Тогда хорда \(AB\) — не диаметр: если бы она была диаметром, плоскость сечения проходила бы через вершину \(K\) и центр основания, то есть через ось, перпендикулярную основанию, и угол \(\alpha\) был бы прямым, а он меньше \(90^\circ\).

Пусть \(E\) — середина хорды \(AB\). Медианы \(OE\) и \(KE\) равнобедренных треугольников \(AOB\) (\(OA = OB\)) и \(AKB\) (\(KA = KB\) как образующие) являются их высотами: \(OE \perp AB\), \(KE \perp AB\). Значит, \(\angle KEO\) — линейный угол двугранного угла при ребре \(AB\), образованного плоскостью сечения и плоскостью основания. Ось \(KO\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому в треугольнике \(KOE\) угол \(O\) прямой, а угол \(KEO\) острый и равен углу между плоскостями: \(\angle KEO = \alpha\).

Отрезок \(OB\) — проекция образующей \(KB\) на плоскость основания, поэтому угол между образующей и плоскостью основания — угол \(KBO\): \(\angle KBO = \beta\).

Из прямоугольного треугольника \(KOB\): \(KO = OB\operatorname{tg}\beta = R\operatorname{tg}\beta\). Из прямоугольного треугольника \(KOE\): \(OE = KO\operatorname{ctg}\alpha = R\operatorname{tg}\beta\operatorname{ctg}\alpha\), \(KE = \frac{KO}{\sin\alpha} = \frac{R\operatorname{tg}\beta}{\sin\alpha}\).

В основании конуса треугольник \(BOE\) прямоугольный (\(\angle BEO = 90^\circ\)).

\[\begin{aligned} &BE = \sqrt{OB^2 - OE^2} = \sqrt{R^2 - R^2\operatorname{tg}^2\beta\operatorname{ctg}^2\alpha} = {} \\ &= R\sqrt{1 - \operatorname{tg}^2\beta\operatorname{ctg}^2\alpha}. \end{aligned}\]

Подкоренное выражение положительно, так как катет \(OE\) короче гипотенузы \(OB\); поэтому \(\operatorname{tg}\beta\operatorname{ctg}\alpha < 1\), то есть \(\operatorname{tg}\beta < \operatorname{tg}\alpha\) и \(\beta < \alpha\): такое сечение существует только при \(\beta < \alpha\).

Площадь \(S\) сечения — площадь треугольника \(AKB\) с основанием \(AB = 2BE\) и высотой \(KE\):

\[\begin{aligned} &S = \frac{1}{2} \cdot 2BE \cdot KE = BE \cdot KE = {} \\ &= R\sqrt{1 - \operatorname{tg}^2\beta\operatorname{ctg}^2\alpha} \cdot \frac{R\operatorname{tg}\beta}{\sin\alpha} = {} \\ &= \frac{R^2\operatorname{tg}\beta\sqrt{1 - \operatorname{tg}^2\beta\operatorname{ctg}^2\alpha}}{\sin\alpha}. \end{aligned}\]

Если же \(\alpha = 90^\circ\), то плоскость сечения проходит через вершину \(K\) перпендикулярно плоскости основания и поэтому содержит перпендикуляр \(KO\) к этой плоскости, то есть ось: сечение осевое, \(AB = 2R\), и его площадь равна \(\frac{1}{2} \cdot 2R \cdot KO = R^2\operatorname{tg}\beta\). То же значение даёт полученная формула: \(\operatorname{ctg} 90^\circ = 0\), \(\sin 90^\circ = 1\).

Ответ: \(\frac{R^2\operatorname{tg}\beta\sqrt{1 - \operatorname{tg}^2\beta\operatorname{ctg}^2\alpha}}{\sin\alpha}\).