Страница 95 номер 9.36, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Через вершину конуса проведено сечение наибольшей возможной площади. Оказалось, что эта площадь в два раза больше площади осевого сечения. Найдите угол между образующими в осевом сечении конуса.
Дано:
конус с вершиной \(K\), \(KAB\) — осевое сечение
\(KCD\) — сечение наибольшей площади, проходящее через вершину \(K\)
\(S_{KCD} = 2S_{KAB}\)
Найти: \(\angle AKB\).
Решение: Пусть \(O\) — центр основания, \(l\) — образующая, \(r\) — радиус основания конуса, \(\varphi = \angle AKB\) — угол при вершине осевого сечения.
Плоскость, проходящая через вершину \(K\) и пересекающая основание конуса по хорде, даёт в сечении равнобедренный треугольник с боковыми сторонами \(l\) — образующими; обозначим угол при его вершине \(\psi\). Площадь такого сечения равна \(\frac{1}{2}l^2\sin\psi\), а его основание — хорда — равно \(2l\sin\frac{\psi}{2}\): медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является его высотой и биссектрисой. Хорда может иметь любую длину, большую \(0\) и не большую \(2r\). Хорда длины \(2r\) — диаметр; тогда плоскость сечения проходит через вершину \(K\) и центр \(O\) основания, то есть через ось, сечение осевое и \(\psi = \varphi\). С ростом \(\psi\) от \(0^\circ\) до \(180^\circ\) значение \(2l\sin\frac{\psi}{2}\) возрастает, поэтому угол \(\psi\) принимает все значения из промежутка \((0^\circ; \varphi]\).
Если \(\varphi \leqslant 90^\circ\), то для всех значений \(\psi\) из промежутка \((0^\circ; \varphi]\) верно \(\sin\psi \leqslant \sin\varphi\) (на промежутке \([0^\circ; 90^\circ]\) синус возрастает), и наибольшую площадь имеет осевое сечение. По условию же наибольшая площадь в два раза больше площади осевого сечения; значит, \(\varphi > 90^\circ\).
При \(\varphi > 90^\circ\) значение \(\psi = 90^\circ\) допустимо, а \(\sin\psi \leqslant 1\), поэтому наибольшую площадь \(\frac{1}{2}l^2\) имеет сечение \(KCD\) с прямым углом \(CKD\). Площадь осевого сечения равна \(\frac{1}{2}l^2\sin\varphi\). По условию:
\[\begin{aligned} \frac{1}{2}l^2 &= 2 \cdot \frac{1}{2}l^2\sin\varphi; \qquad | : l^2 \\ \sin\varphi &= \frac{1}{2}. \end{aligned}\]
Так как \(90^\circ < \varphi < 180^\circ\), то \(\varphi = 150^\circ\).
Ответ: \(150^\circ\).
